§1.6.1 Анализ графиков кинематических величин

1°. Равномерное прямолинейное движение

1°.2. Вид графика координаты при равномерном прямолинейном движении

Графиком уравнения координаты при  равномерном прямолинейном движении является прямая линия.

 

 

1°.3 Работа с графиком координаты

 

1°.3.1 Определение качественных характеристик движения.

1°.3.1.1. Направления движения

Чтобы определить направление движения необходимо отследить как изменяется координата с течением времени.    

 

с течением времени координата растет (Δx>0) из рисунка видно, что это означает что тело движется в направлении совпадающем с OX

с течением времени координата уменьшается (Δx<0) из рисунка видно, что это означает что тело движется в направлении противоположном OX

 

Итак, сформулируем правило:

если с течением времени координата возрастает, - тело движется в положительном направлении оси ОХ

если с течением времени координата убывает, - тело движется в отрицательном направлении оси ОХ.

 

1°.3.1.2 Сравнение модулей скорости. Метод фиксации параметра.

Фиксируем какой-либо параметр, в нашем случае это время. Затем сравниваем перемещение, которое совершило первое тело к моменту времени t1 и перемещение второго тела к этому же моменту времени.

Из рисунка видим, что первое тело совершило меньшее перемещение по сравнению со вторым, следовательно его скорость меньше.  Можно так же заметить, что угол между графиком и горизонтальной линией проведенной из начальной точки характеризует  скорость тела.

 V2 >  V1

 

V2 = V1

 

1°.3.2 Определение количественных характеристик движения.

1°.3.2.1 Определение перемещения и пути по графику координаты
Определение перемещения
Проекция перемещения по графику координаты всегда определяется на основании формулы

(1.01)

  где Xк - конечная координата Xн - начальная координата движения

При этом не имеет значение насколько сложен график и является ли движение, отображенное на графике, равномерным или равнопеременным, в любом случае что бы найти проекцию перемещения мы с помощью (1.01) соотносим начальное и конечное положение тела.

 Пример

 


Определение пути
Определение пути является более сложной операцией по сравнению с нахождением перемещения.
Что бы правильно найти путь на заданном участке движения необходимо понимать, что
  • путь равен перемещению, только если направление движения не изменяется
  • с течением времени путь только возрастает (см. определение пути §1.2. п.3°)

Соответственно если дан график к.-л. сложного движения, т.е. движения состоящего из участков с различными направлениями движения необходимо

  1. разделить все движение на участки с одинаковым направлением движения, например участок №1, №2 и т.д
  2. найти перемещение на каждом участке (по формуле 1.01) , например Δr1x , Δr2x и т.д.
  3. просуммировать модули всех перемещений что бы найти путь.

(1.02)

Пример

В данном случае путь на всем участке движения будет определятся как

(1.03)

Отметим, что на участке №1 модуль скорости движения изменяется, и движение можно было бы разбить на два подучастка, но это не рационально, так как направление остается постоянным на всем участке, а значит, путь и перемещение совпадают всюду на уч. №1
Так же не следует разбивать на подучастки участок №3 по то же причине: на всем участке №3 направление движения не изменяется и путь и перемещение совпадают везде. Точка пересечения графика с осью ОХ не интересна вовсе, так как в этой точке не происходит какого-либо изменения движения.
  
  
1°.3.2.2 Определение величины скорости
 

 

Что бы найти значение проекции скорости. Необходимо показать на графике некоторый промежуток времени Δt и соответствующее ему перемещение, тогда проекцию скорости можно будет найти как

 

(5.01)

 

Отметим что это действие позволяет определить не только модуль проекции, но и ее знак, а значит и направление.

Отметим так же что отношение в формуле (5.01) не что иное как тангенс угла альфа.

(5.02)

 

  

 

1°.4 График скорости при равномерном прямолинейном движении.
Графиком скорости при равномерном прямолинейном движении является прямая линия параллельная оси времени

 

1°.5. Работа с графиком скорости

 

1°.5.1 Определение качественных характеристик движения
Знак проекции вектора скорости мы определяем исходя из того, в какой полуплоскости находится рассматриваемое значение проекции вектора, если в верхней значит Vx > 0 и тело движется в положительном направлении оси ОХ, если значение находится в нижней полуплоскости Vx < 0 и тело движется в направлении противоположном ОХ.

В данном случае на первом участке тело движется по оси OX, на втором (график в нижней полуплоскости) тело движется против оси OX

 
1°.5.2 Определение количественных характеристик движения.
 
Определение перемещения
Модуль проекции вектора перемещения  по графику скорости определяется как площадь прямоугольника, одной из сторон которого является часть графика, одной стороной часть оси ОХ и двумя другими являются перпендикуляры опущенные из точек соответствующим заданным моментам времени.      

    
Легко обосновать что это действительно так. Площадь прямоугольника на рисунке  определяется как

S =  Vx * Δt    

(1.01)

а в соответствии с (§1.5 п.2°.1), это не что иное как модуль проекции вектора перемещения.

Если движение состоит из нескольких участков с разными значениями проекции скорости, как на рис. ниже

то необходимо найти проекции перемещения на каждом участке и сложить их. Модули удобно искать как площади, знак определяем из графика.

(1.02)

  
Определение пути
Если движение состоит из нескольких участков с разными значениями проекции скорости, как на рис. ниже

то для того что бы найти путь на всем участке необходимо модули проекций перемещения на каждом участке и сложить их.
 

(1.03)

 
 

 

 


2°. РавноПЕРЕМЕННОЕ прямолинейное движение

2°.1 График  координаты при РППД

Графиком  координаты при равнопеременном прямолинейном движении является парабола.

 

 

2°.2 Работа с графиком координаты

 

2°.2.1. Определение качественных характеристик движения

2°.2.1.1. Направление вектора скорости. Знак проекции вектора скорости.

Чтобы определить направление движения необходимо отследить как изменяется координата с течением времени.    

 

с течением времени координата растет (Δx>0), это означает, что тело движется в направлении совпадающем с OX и, следовательно

Vx > 0

с течением времени координата уменьшается (Δx<0)  это означает, что тело движется в направлении противоположном OX и, следовательно

Vx <  0

 

Итак, правило совпадает с правилом сформулированном в (1°.3.1.1. )

если с течением времени координата возрастает, - тело движется в положительном направлении оси ОХ

если с течением времени координата убывает, - тело движется в отрицательном направлении оси ОХ.

 

2°.2.1.2. Точка остановки. Определение типа движения: ускоренное/замедленное - основной способ.

Точка остановки - момент времени, когда скорость тела становится равной нулю. На графике координаты точка остановки соответствует точке экстремума функции (точке перегиба).   

Опираясь на понятие точки остановки легко сформулировать правило для определения типа движения:  если тело приближается к точке остановки - оно движется замедленно, если тело удаляется от точки остановки - оно движется ускорено.

 

 

2°.2.1.3 Определение типа движения: ускоренное/замедленное - дополнительный способ.

В случае равнопеременного движения скорость непрерывно меняется, поэтому сравнить скорости двух различных движений бессмысленно, однако сравнить скорости (средние) для одного и того же движения вполне возможно. Для этого также будем фиксировать параметр как и в (1°.3.1.2)  только немного иным способом. Проиллюстрируем на примере.

 

 

Выделим два последовательных одинаковых участка времени  Δt1 и Δt2   (т.е. мы зафиксировали параметр время). Затем сравним перемещения, соответствующие  первому и второму участку, мы видим что ΔX1< ΔX2 ,  т.е. за одинаковые промежутки времени тело на втором промежутке времени прошло большее расстояние, следовательно средняя скорость на втором участке больше.

Этот способ позволяет определить тип движения - ускоренное или замедленное.  Сформулируем правило определения типа движения.

Что бы определить тип движения, необходимо сравнить два одинаковых последовательных участка времени.  Если на втором участке тело в среднем движется быстрее, чем на первом значит, оно движется ускоренно, иначе - замедленно.

 

2°.2.1.4 Направление вектора ускорения. Знак проекции вектора ускорения..

Мы умеем определять направление движения, а так же тип движения - ускоренное или замедленное. Применив к этой информации "правило знаков"  (§1.6 п. 5°). Мы получим способ с помощью которого легко определить знак (а значит и направление вектора ускорения)

Сформулируем это правило:

Если движение ускоренное, то знак проекций скорости и ускорения совпадают.

Если движение замедленное, знаки  проекций скорости и ускорения противоположны.

Пример №1. Допустим мы определили, что движение ускоренное и направлено против оси ОХ. Тогда в соответствии с правилом при ускоренном движении знаки совпадают, и значит ускорение так же направлено против оси ОХ.

Пример №2. Допустим мы определили, что движение замедленное и направлено против оси ОХ. Тогда в соответствии с правилом при замедленном движении знаки противоположны, и раз скорость отрицательна, значит ускорение положительно.  

 

2°.2.2 Определение количественных характеристик движения.

2°.2.2.1 Построение уравнений движения по начальной координате и двум точкам.

Из количественных характеристик движения с помощью графика координаты напрямую можно определить лишь один параметр - начальную координату  X0 скорость и тем более ускорение не получится определить через изменение координаты и времени.

Можно ли опираясь на график координаты определить какие-либо количественные характеристики движения, кроме начальной координаты. Да, можно определить вообще любую информацию о движении (координату, скорость, ускорение в любой момент времени), но для этого нам понадобится полная информация (время и координата) о любых трех точках графика движения. Что бы упростить ситуацию и продемонстрировать метод, предположим что мы располагаем информацией о начальной координате и любых двух точках графика движения

 

Пример: Начальная координата  X0 =  0;  X1 =  4 при  t1 =  2;   X2 =  7 при  t1 =  6;

из графика следует, что V0x >  0 ,  ax < 0

теперь записав уравнение координаты для каждой точки,

 

 

мы получим систему уравнений, решая которую мы вычислим значения   V0x и  ax  , а значит сможем в итоге записать уравнения  координаты и скорости для данного движения.

 

 

 

2°.3 График скорости при РППД

Графиком скорости при равнопеременном прямолинейном движении является прямая.

 

 

2°.4 Работа с графиком скорости.

 

2°.4.1. Определение качественных характеристик движения по графику скорости.

2°.4.1.1. Направление вектора скорости.

Знак проекции вектора скорости мы определяем исходя из того, в какой полуплоскости находится рассматриваемое значение проекции вектора, если в верхней значит Vx > 0 и тело движется в положительном направлении оси ОХ, если значение находится в нижней полуплоскости Vx < 0 и тело движется в направлении противоположном ОХ.

 

2°.4.1.2. Точка остановки. Тип движения: ускоренное/замедленное.

Тип движения - ускоренное или замедленное мы определим опираясь на понятие точки остановки (п. 2°.2.1.2.).

 

Напомним, если тело приближается к точке остановки, оно движется замедленно, если удаляется от точки остановки - движется ускоренно.

2°.4.1.3. Направление вектора ускорения.

Направление вектора ускорения т.е. знак проекции вектора ускорения мы определим как и в (п. 2°.2.1.4) опираясь на правило знаков (§1.6 п.5°).

напомним:

Если движение ускоренное, то знак проекций скорости и ускорения совпадают.

Если движение замедленное, знаки  проекций скорости и ускорения противоположны.

Пример.

   

1) Тело удаляется от точки остановки, следовательно движется ускоренно.

2) Проекция скорости положительна. Так как движение ускоренное, значит знаки проекций скорости и ускорения совпадают и, соответственно знак проекции ускорения так же положительный.

2°.4.1.4. Сравнение модулей ускорения. Метод фиксации параметра.

Применим метод фиксации параметра  (п. 1°.3.1.2.) для того что бы сравнить модули ускорения двух тел.

Пример.

 

Из (§1.6 п.1°) мы знаем что ускорение определяется как отношение

 

 a =  ΔV / Δt (2.01)

 

Зафиксируем параметр "скорость". Тогда ΔV для обоих тел будет одинаковым, но промежутки времени за которое произошло это изменение будут разными, причем из рис мы видим что ΔtII > ΔtI следовательно опираясь на (2.01) можем сделать вывод, что aI > aII

2°.4.2. Определение количественных характеристик движения по графику скорости.  

2°.4.2.1. Определение перемещения

Значение модуля проекции перемещения определяется как площадь фигуры (трапеции или треугольника), одной из сторон которого является часть графика, одной стороной часть оси ОХ и двумя другими являются перпендикуляры опущенные из точек соответствующим заданным моментам времени.  

Что бы обосновать это разобьем нашу фигуру (в данном примере трапецию) но множество прямоугольников как показано на рисунке.

Площадь отдельного прямоугольника ΔS , в соответствии с §1.5 п.6°.01, это элементарное перемещение  Δrэл  на соответствующем участке. В соответствии с §1.2.п.5°. перемещение является аддитивной величиной, т.е.  Следовательно

 

Δrобщ  =Δrэл1 +Δrэл2+Δrэл2+ ....+ = Σ Δrэл    (2.02)

Знак проекции перемещения в соответствии с п.9°.01.01. определяется в зависимости от того в какой полуплоскости находится рассматриваемый участок графика, если в верхне то "+" , если в нижней, "-".

2°.4.2.2 Определение пути.

На участках где характер движения не меняется (т.е. не меняются направление скорости и значение ускорения) путь и перемещение совпадают по модулю т.е.

 

I Δrx I = s  (2.03)

Если же характер движения изменяется как на рисунке представленном ниже, все движение необходимо разбить на отдельные участки, где характер движения не меняется, найти модули перемещения соответствующих участков и просуммировать их.  

 

В данном примере общий путь равен  Sобщ  =  S1  + S2  + S3

2°.4.2.3. Определение значения проекции вектора ускорения.

В с соответствии с п.1°  проекция ускорения может быть найдена как

(2.04)

 

 

Поэтому что бы найти ускорение с помощью графика скорости, необходимо показать на графике промежуток времени Δt и соответствующее ему изменение  скорости ΔV.

 

Их отношение и будет значением проекции вектора ускорения.

Отметим два важных момента.

1) При нахождении изменения скорости принципиально важно отнимать от конечного значения, начальное - в этом случае мы получим верный знак проекции ускорения.

2) Из рисунка видно что отношение a =  ΔV / Δt  это ни что иное как тангенс угла α. Т.о. угол характеризует значение ускорения, чем он больше, тем больше ускорение.

 

(2.05) 

 

 

 
  

Содержание №3

 

Содержание №4