§1.6. Равнопеременное прямолинейное движение

1°. Определение равнопеременного движения

Равнопеременным движением, называется такое движение при котором,  вектор ускорения тела не изменяется с течением времени.   

(1.01)

Поскольку ускорение тела не меняется, то мгновенное ускорение в любой момент времени равно среднему ускорению

(1.02)

и в соответствии с §1.4 п. 2°.  ускорение для равнопеременного движения можно определить как

(1.03)

 

 

2°. Уравнение скорости для равнопеременного прямолинейного движения

Рассмотрим частный случай равнопеременного движения - прямолинейное равнопеременное движение. Отметим, что прямолинейность движения означает, что вектор ускорения параллелен вектору начальной скорости.   

Выберем ось OX вдоль наших векторов скорости и ускорения, как показано на рисунке:

 

Из уравнения  (1.03) следует, что скорость в произвольный момент времени определяется как

(2.01)

 Или в проекции на ось OX  - уравнение скорости принимает вид:

(2.02)

где   Δt - промежуток времени между состояниями тела со скоростями Vx и Vx0 , Vx - проекция вектора скорости в конце промежутка времени, Vx0 - проекция вектора скорости в начале промежутка времени, ax - проекция ускорения.

 

Уравнение (2.02) мы будем называть в дальнейшем уравнением скорости для равнопеременного прямолинейного движения .

Отметим важную особенность применения уравнения скорости, оно применяется для участка движения, началу которого соответствует начальная скорость   Vx0  концу участка соответствует Vx.

2°.01 Пример применения уравнения скорости
К концу первой секунды равнозамедленного движения модуль скорости тела равен 2 м/с, а к концу второй — 1 м/с. Определить модуль начальной скорости тела.
Покажем всю информацию на рисунке

Применим уравнение скорости к тому участку, о котором у нас субъективно больше всего информации, это вторая секунда. В общем виде уравнение будет выглядеть следующим образом

(01)

подставим числа в (01)

(02)

Найдем отсюда ax, ax= - 1 м/с2
Итак, мы знаем ускорение тела. Применим уравнение скорости к тому участку, где у нас есть искомый параметр, это может быть первая секунда или первые две секунды. Выберем второй вариант.

запишем уравнение скорости для первых двух секунд в общем виде

(03)

Обратите внимание на то, что изменилось в уравнении (по сравнению с (01)), - начальная скорость теперь V0x (была V1x), промежуток времени Δt12 , (был Δt1).

Подставим в уравнение (03) числа (в т.ч. ускорение, которое  мы уже нашли)

(04)

откуда V0x = 3 м/с2

  
  

 

3°. Уравнение координаты для равнопеременного прямолинейного движения

Из уравнения (2.04) мы получаем уравнение координаты для РППД.

(3.01)

 

Уравнение (3.01) так же записывается для участка движения, началу которого соответствует начальная скорость и начальная координата Vx0, X0   концу участка соответствует конечная координата X

 

4°. Уравнение перемещения для РППД

Учитывая, что Δrx= X - X0  (см.  §1.5. п.2°)  перенося X0 в левую часть, получим уравнение перемещения для РППД

(4.01)

4°.01 Пример применения уравнения перемещения

При равноускоренно м движении тело проходит за первые 4 с путь, равный 24 м. Определить модуль начальной скорости тела, если за следующие 4 с тело проходит расстояние 64 м.
Покажем всю информацию на рисунке:


Применим уравнение перемещения к тому участку, о котором у нас субъективно больше всего информации, при этом постараемся "захватить" искомый параметр. Это первый участок.

В общем виде уравнение будет выглядеть следующим образом:

(01)

 подставим числа в (01)

(02)

Мы получили первое уравнение нашей системы. Посмотрим, какие параметры нам не известны, - это V0 и  ax . Сейчас рационально записать еще одно уравнение, которое содержало бы те же не известные переменные, что и уравнение (02) таким уравнением является уравнение перемещения для всего участка.

Запишем уравнение перемещения для всего участка в общем виде:

(03)

 подставим числа в (03)

(04)

Итак, имеем систему уравнений

(05)

 Решая которую получим что Vx0 = 1м/с2
  

Если   из уравнения (2.04) выразить V0x   и подставить его в уравнение (3.02) мы получим "уравнение квадратов скоростей"    

(4.02)

применение формулы (4.02) можно проиллюстрировать с помощью следующего рисунка

 

 

 

  Анализ уравнения скорости, координаты и перемещения позволяет получить полную информацию о характеристиках движения и, в частности, о том как движется тело - ускорено или замедленно. Что бы это сделать необходимо использовать "правило знаков"

 

Движение ускоренное

направления вектора скорости и ускорения совпадают

знаки проекций векторов скорости Vx и ускорения ax одинаковы

Движение замедленное

направления вектора скорости и ускорения противоположны

знаки проекций векторов скорости Vx и ускорения ax противоположны

  
Сформулируем "правило знаков" :
если знаки проекций векторов скорости и ускорения совпадают - тело движется ускоренно
если знаки проекций векторов скорости и ускорения противоположны- тело движется замедленно.
Пример №1

 

знаки проекций скорости и ускорения совпадают - движение ускоренное (модуль скорости возрастает)

Пример №2

 

знаки проекций скорости и ускорения противоположны - движение замедленное (модуль скорости уменьшается)

 

6°. Вертикальное движение под действием силы тяжести - частный случай равнопеременного прямолинейного движения.

6°1.  Определение свободного падения.
  
Свободным падением называется движение в близи поверхности Земли с нулевой начальной скоростью,  либо с начальной скоростью направленной вертикально.
Свободным падением такое движение будет только в том случае если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
  

6°2 Ускорение свободного падения.

При свободном падении известны направление и величина вектора ускорения, а именно модуль вектора равен 9,8 м/с2 , направлен вектор ускорения вертикально вниз. В силу важности этой величины у нее имеется собственное название - "ускорение свободного падения" и собственное обозначение -  g. Отметим так же что в абсолютном большинстве школьных задач, ускорение свободного падения округляется до целого т.е.

 

  

6°3.  Особенности свободного падения как равнопеременного движения.

 

  1. Свободное падение является частным случаем равнопеременного движения, соответственно описывается оно стандартным набором уравнений (2.02, 3.01, 4.01, 4.02).
  2. Скорость тела в верхней точке траектории равна нулю (точка остановки).
  3. Свободное падение обладает симметрией т.е. скорости на любом уровне одинаковы по модулю (при движении вверх и при движении вниз), время движения на симметричных участках (см рис. выше) одинаково.

 

  
7. Начальная и конечная скорости тела при свободном падении
Начальная и конечная скорости тела не равны нулю.
Например можно рассуждать следующим образом: в конце движения тело упало и лежит неподвижно, значит его конечная скорость равна нулю. Ошибка в данном рассуждении в том, что свободное падение подразумевает движение только под действием силы тяжести, а скорость тела в данном примере стала равна нулю в следствии взаимодействия с поверхностью земли что не соответствует нашему условию.
Таким образом рассматривая свободное падение мы рассматриваем движение за миг до прикосновения к земле и через мгновение от броска.

 

§1.6. Рекомендации репетитора к решению кинематических задач на два участка

Правило максимального использования информации шаговой доступности
Ищем и максимально используем "соотношения шаговой доступности".
Соотношения шаговой доступности – это соотношения, применение которых, позволяет сразу (на первом шаге) найти численное значение параметра.

 

Правило первого уравнения
Выбираем первое уравнение так что бы оно максимально использовало информацию из условия задачи.

Правило второго уравнения

Второе уравнение записываем обязательно с опорой на первое, а именно стараемся записать второе уравнение так, что бы оно

     - максимально использовало информацию из условия задачи,

     - но при этом использовало те же самые неизвестные переменные, которые мы ввели в первом уравнении.

 

Дополнительные правила

Правило трех участков.
Если в задаче рассматривается три участка, то в начале выбираем два смежных участка, о которых больше всего информации. Работаем с ними (так как если бы третьего участка не было в вовсе), находим необходимые параметры (чаще всего начальную скорость и ускорение) и затем уже ищем окончательный ответ в задаче т.е. "подключаем " третий участок.
  
Принцип обратимости.
Равнозамедленное движение можно, развернуть вспять и рассматривать как равноускоренное (с тем же ускорением) в противоположном направлении. При этом все характеристики движения будут в точности совпадать с исходным движением. 
Правило рекомендуется использовать для случаев замедленного движения с остановкой.
  
Средняя скорость как среднее арифметическое.
При равнопеременном движении среднюю скорость на заданном участке можно искать как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей этого участка. Правило справедливо только для однонаправленного движения т.е. на участке, к которому мы планируем применить это правило, не должно быть изменения направления движения.
  

Содержание №3

 

Содержание №4