§1.7. Равномерное движение по окружности

1°. Определение.
"Равномерным" движением материальной точки  по окружности (РДО) называется движение, при котором выполняется условие:
 

 an≠ 0 = const, и  aτ = 0 .  

 

 т.е. при таком  движение модуль МТ скорости не изменяется (aτ = 0), направление скорости изменяется равномерно с течением времени ( an≠ 0 = const ).  И в соответствии с (1.04) §1.4
 

aполн =  an

 

2°. Период
Период - это время за которое совершается один полный оборот. Обозначается T. Единица измерения секунда,  [T] = с.

(1.01)

 


3°. Частота вращения
Частота вращения - количество оборотов за единицу времени. Обозначается . Единица измерения герц,  [] = Гц = с-1.  Частота вращения величина обратная периоду.
 

(1.02)

где N - число оборотов, t - время вращения

 

 

Пример

 Частота вращения тела равна 30 c-1 , это значит,  что за 1 секунду тело  совершает 30 оборотов.

 

4°. Линейная скорость вращения
Модуль скорости тела при РДО определяется как
 

(1.03)

где S - путь пройденный телом, t - время за которое он был пройден

Во многих случаев удобно использовать промежуток времени равный периоду ( t = T)

В этом случае путь S  будет равен длине окружности

 

(1.04)

 

и формула (1.03) примет вид

 

(1.05)

 


5°. Угловая скорость
Угловая скорость показывает как быстро поворачивается радиус вектор  (см. §1.1. п.5), задающий положение м. точки, движущейся по окружности
 

Угловая скорость  обозначается ω . Единицы измерения ω = [рад/с].
Для случая РДО угловая скорость определяется как
 

(1.06)

 

где Δφ - угол поворота радиус-вектора, t - время за которое был совершен поворот

Если использовать промежуток времени соответствующий полному обороту,

то, с учетом того, что полному обороту соответствует угол  ,

выражение (1.06) примет вид:

 

(1.07)

 


6°. Важная особенность угловой скорости.

В более строгом смысле угловая скорость является характеристикой вращения тела, а не отдельной материальной точки.  При вращении тела все его точки совершают полный оборот за одно и то же время, соответственно угловая скорость одинакова для всех точек тела.

 


7°. Связь линейной и угловой скорости
Подставив (1.07) в (1.05) мы получим выражение связывающее линейную и угловую скорости.

(1.08)

 

Отметим важную особенность (1.08) - это соотношение "работает" для двух принципиально разных случаев
 

1.  Тело закреплено на неподвижной оси, тогда V - это скорость точки на окружности, относительно оси вращения.

 

2. Тело катится по поверхности, тогда V - это скорость движения центра тела относительно поверхности.

 

 

  
Подробнее о втором случае

 

 
Точка делает один оборот за время равное периоду, за это же время диск сместится на расстояние 2πR (представим, что на диск намотана нить, тогда повернувшись на один полный оборот размотается длина нити равная 2πR) , следовательно
 

а это есть не что иное как

 

 

 

8°. Центростремительное ускорение.
При движении по окружности, тело обладает нормальным или как его еще называют "центростремительным" ускорением.

  • Направление.  Центростремительное ускорение, направлено к центру окружности, перпендикулярно касательной к окружности в данной точке.
 

  •   Величина. Величина центростремительного ускорения определяется по формуле (1.09)

 

(1.09)

 

Подставив V из (1.08) получим

 

(1.10)

 

выразив из (1.08) угловую скорость ω и подставив ее в (1.09) получим еще одно выражение для центростремительного ускорения.

 

(1.11)

 

Почему при "равномерном" движении тело обладает ускорением?
 Движение отвечающее условию в п.1 ( an≠ 0 = const, и  aτ = 0) является равномерным условно, так как не изменяется только модуль скорости. Направление вектора скорости изменяется, следовательно ΔV ≠ 0, а значит и ускорение не равно нулю.

 
 
 
  

Содержание №2

 

Содержание №3

 

Содержание №4