§1.8. Движение под углом к горизонту

1°. Определение
Если телу сообщить начальную скорость V0 под углом α к горизонту (- π/ 2 < α < π/ 2 рад), то его движение будет криволинейным. При условии h << Rз, и без учета сопротивления воздуха, можно считать, что траекторией тела в этом случае будет парабола.
Так как в данном случае тело движется только под действием силы тяжести, то ускорение тела постоянно и в любой момент времени равно ускорению свободного падения.
 

aτ +  an= aполн= g = 9.8 м/с2

 

 

Поскольку вектор ускорения не изменяется с течением времени - движение тела является равнопеременным. 

 

 Вертикальный и горизонтальный вектор скорости в динамике

Обратите внимание на то, как "ведет" себя вектор горизонтальной составляющей скорости и вектор вертикальной составляющей скорости, в чем разница в их "поведении".

 

 


2°. Принцип суперпозиции
В физике существует общий принцип, который называется принципом суперпозиции (принцип наложения), — допущение, согласно которому результирующий эффект сложного процесса взаимодействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга. 
В соответствии с принципом суперпозиции, движение под углом к горизонту можно представить как сумму  двух, не влияющих друг на друга, движений  - равномерного движения по горизонтали и равнопеременного движения по вертикали. Накладываясь друг на друга эти движения "суммируются", в результате чего возникает более сложное движение - движение по параболе.
  

 Пример

 

   

 

В момент отрыва "бомбы" от самолета вертикальная составляющая скорости одинакова у обоих тел, но и в дальнейшем мы видим, что горизонтальная составляющая скорости "бомбы" остается равной горизонтальной скорости самолета, т.е. на движение "бомбы" как бы "накладывается" вертикальное движение (свободное падение), результатом чего является относительно сложное движение "бомбы" по параболе.

 

3°. Уравнения движения при движении под углом к горизонту
 
Из §1.6 п.2.01°  мы знаем что уравнения скорости и уравнения перемещения в векторной форме имеют вид:

 

(2.01)

(2.02)

 

 

 

Спроецировав уравнения (2.01) и (2.02) на ось OX и OY  получим

 
 
  Уравнение скорости Уравнение перемещения Уравнение координаты

Проекция на ось ОХ -

 "горизонтальное движение"

(3.01)

(3.02)

(3.03)

Проекция на ось ОY -

 "вертикальное движение"

(3.04)

(3.05)

(3.06)

 
 

4°. Вычисление кинематических параметров: времени полета, дальности, значения скорости в произвольный момент времени и др.

 

Примем, что X0 = 0 , y0 = 0 , тогда основные кинематические характеристики можно найти следующим образом.

 

4°.01  Время  полета

Что бы найти время движения обратим внимание на то, что движение симметрично  (см §1.6.1.  п.4°)  т.е. время движения вверх, равно времени движения вниз, следовательно достаточно вычислить время движения вверх.

Что бы найти время движения вверх выясним, какое движение "вертикальное" или "горизонтальное", определяет этот параметр. Очевидно, что это вертикальное движение. Размышляя в этом направлении заметим,  что время движения до верхней точки траектории это время достижения "точки остановки" в вертикальном движении. Следовательно приравняв (3.04) к нулю, найдем половину времени полета.

Окончательно время полета определяется как.
 

(4.01)

 

 

  

4°.02 Дальность полета

Что бы найти дальность полета, выясним какое движение  (вертикальное или горизонтальное) отвечает за этот параметр. Очевидно что это горизонтальное движение. Так как по горизонтали движение равномерное (3.02) и время движения мы уже умеем вычислять (4.01), можем записать

(4.02)

 


4°.03 Скорость тела в произвольный момент времени
Скорость тела определяется как горизонтальным , так и вертикальным движением. Из рисунка видим, что
 

 

(4.03)

где значения Vx и Vy возьмем из (3.01) и (3.04)

 


4°.04 Направление вектора скорости в произвольный момент времени
Направление вектора скорости найдем из треугольника скоростей V3 , V3x и V

 

 

   

(4.04)

 

либо

 

(4.05)

   


5°.  Обоснование возможности применения принципа суперпозиции для случая движения тела под углом к горизонту.
Так как движение тела под углом к горизонту происходит с постоянным ускорением  (равным g) его уравнениями движения являются (см п.3°) :

  • уравнение скорости

 

(2.01)

 

  • уравнение перемещения

 

(2.02)

Проецируя эти уравнения на оси координат получим следующую систему уравнений

 

 

перегруппировав эти уравнения несколько иначе получим

 

 

Таким образом мы видим, что движение под углом горизонту описывается совокупностью уравнений описывающих равномерное и равнопеременное прямолинейные движения.

   

  
 

№3

 

№4