§2.07. Силы упругости

1°. Деформация
Деформацией твердого тела называется изменение его размеров и объема, которое сопровождается обычно изменением формы тела. К деформациям относятся растяжение, сжатие, кручение, сдвиг и изгиб.
1°.01 Мехнизм возникновения сил упругости

Частицы тела (молекулы или атомы) взаимодействуют друг с другом силами притяжения и отталкивания, имеющими электромагнитное происхождение. Силы взаимодействия зависят от расстояний между частицами. Если деформации нет, то силы притяжения компенсируются силами отталкивания. При деформации изменяются расстояния между частицами, и баланс сил взаимодействия нарушается. Например, при растяжении стержня расстояния между его частицами увеличиваются, и начинают преобладать силы притяжения. Наоборот, при сжатии стержня расстояния между частицами уменьшаются, и начинают преобладать силы отталкивания. В любом случае возникает сила, которая направлена в сторону, противоположную деформации, и стремится восстановить первоначальную конфигурацию тела.

2°. Упругие и пластические деформации

Деформации бывают упругими и пластическими.
Упругая деформация полностью исчезает после снятия внешнего воздействия, которое вызвало деформацию. В результате деформированное поначалу тело восстанавливает свои первоначальные размеры и форму.
Пластическая деформация сохраняется (быть может,частично) после снятия внешней на-грузки,и тело уже не возвращается к прежним размерами форме.
 

3°. Сила упругости
Силой упругости Fупр называется сила, возникающая при деформации тела.

 

В большинстве задач элементарного курса физики рассматриваются, либо МАКРО-деформации растяжения или сжатия, и тогда мы обозначаем эти силы как Fупр и рассматриваем их с точки зрения закона Гука (рис. выше),

либо рассматриваются силы упругости возникающие при МИКРО-деформациях и тогда мы обозначаем их как N (реакция опоры) или T (сила натяжения) и закон Гука к ним, как правило не применяем (рис. ниже).

Отметим что силы натяжения T направлены всегда вдоль нити, силы реакции опоры N всегда направлены перпендикулярно к поверхностям соприкасающихся тел.

 


4°. Абсолютная деформация
Абсолютная деформация характеризует изменение линейных размеров тела. Чаще всего в задачах используется модуль абсолютной деформации он обозначается Δx и определяется как

(4.01)

   


5°. Значение силы упругости, Закон Гука
Для упругого растяжения или сжатия, характеризующегося некоторым значение модуля абсолютной деформации, сила упругости пропорциональна модулю абсолютной деформации.

Математически закон Гука записывается следующим образом:

(5.01)

где k - коэффициент жесткости,  [k] = Н/м

Δx - модуль абсолютной деформации 


6°. Направление силы упругости

Сила упругости направлена противоположно относительному смещению точек, деформируемого тела.

Например на рисунке выше правый конец пружины относительно системы отсчета связанной со стеной сместился вправо, следовательно сила упругости действующая на этот конец пружины будет направлена влево. Заметим, что в системе отсчета связанной  с телом, все будет наоборот, относительно тела (шарика) левый конец смещается вправо и, следовательно, на него сила упругости будет действовать вправо.

Таким образом в полном соответствии с III законом Ньютона, силы упругости возникают парно, действуют на оба конца пружины и направлены противоположно друг другу.


7°. Динамометр. Измерение сил.

Существуют различные способы измерения сил, но один из самых распространенных - измерение силы с помощью динамометра.

Идея способа очень проста. Один конец пружины мы фиксируем, ко второму прикладываем измеряемую силу Fвш. Под действием внешней силы пружина будет растягиваться, до тех пор пока не уравновесит внешнюю силу, следовательно измерив силу упругости, возникающую при деформации пружины, мы измерим внешнюю силу.  

 


8°. Вес тела

В результате действия тела на опору возникает сила упругости, которую  мы называем реакция опоры, но по третьему закону Ньютона  (§2.05), если опора действует на тело, то должна быть сила и со стороны тела на опору и такая сила действительно есть - это вес тела P.

(8.01)

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Подчеркнём, что вес приложен не к телу, а к опоре (подвесу).

 
9°. Физическая модель нити.

В задачах рассматривается физическая модель нити, которая называется "невесомая, нерастяжимая нить". Эта модель предполагает следующие свойства нити:

A)   Нить способна "передавать" воздействие с одного конца на другой – главное свойство нити, которое предполагается само собой разумеющимся, однако  из него следует одно важное свойство – деформируемость нити, т.е. воздействуя на один конец нити, мы ее деформируем

в результате чего, возникают силы упругости и одна из этих сил упругости оказывает воздействие на тело прикрепленное к нити.      

B)   Нить нерастяжима – это означает, что величина  деформации нити пренебрежимо мала по сравнению с ее длинной.

C)   Нить невесома, т.е. массой нити можно пренебречь по сравнению с массами остальных элементов системы.

D)   Гибкость нити - нить способна изгибаться, сохраняя при этом главное свойство – способность передавать воздействие, что принципиально важно для систем блоков.

 

Эти главные свойства "невесомой нерастяжимой" нити могут быть дополнены.

 

1. На прямолинейных участках нить можно произвольно укорачивать или удлинять, это ни как не повлияет на "поведение системы" т.е. не нарушит равновесия или не изменит ускорения.

2. На прямолинейных участка  сила, приложенная к концу нити, "передается" в любую точку нити без изменения направления и величины.

3. Любой малый участок нити можно заменить упругой пружинкой, соответственно нить можно представить как совокупность одинаковых последовательно соединенных упругих пружинок.

4. Под нагрузкой, т.е. когда на конец нити действует внешняя сила, все пружинки, из которых состоит нить, деформируются одинаково.

5. Любой малый участок нити может рассматриваться как материальная точка, к которой применим II з. Ньютона, при этом масса этого участка принимается равной нулю.

6. Силы упругости возникающие при деформации отдельно взятой пружинки

    - возникают парно на концах пружины

    - равны по модулю и противоположны по направлению

    - направлены вдоль пружины

    - так как нить способна только удлиняться, направлены "внутрь" пружинки.

 

 

10°. Примеры применения в задачах закона Гука и модели невесомой нерастяжимой нити.
Пример №1
На тело массой m, находящееся на горизонтальной поверхности, через систему нитей и пружину жесткостью k действует сила F. Найти удлинение  пружины и ускорение тела.

10°.01 Решение

 

уберем "лишние" нити (в соответствии с 9°.1)

покажем силы в точках D и B

применим II з. Ньютона к точке. B

Учтем, что масса точки равна нулю (в соответствии с 9°.5) , ось OX направим вправо

(10.01)

откуда

(10.02)

учитывая, что силы упругости на концах пружины равны по модулю и противоположны по направлению

(10.03)

Соотношением (10.03) мы показали, что пружина передает внешнюю силу без изменения с одного конца на другой   

Модуль силы,  действующей на тело, может быть выражен через закона Гука.

(10.04)

откуда

(10.05)

Отметим что модуль абсолютной деформации пружины не зависит от массы тела.

Что бы найти ускорение тела, применим к нему II закон Ньютона.  С учетом (10.03) можем записать

(10.06)

откуда ускорение

(10.07)

Отметим, что ускорение не зависит от каких либо характеристик нити или пружины, очевидный результат, подтверждающий, что нить, как и пружина, это лишь посредник позволяющий передать воздействие из одной точки  в другую.

 

   
   
Пример №2
Два груза соединены нитью. К каждому грузу прикреплена пружина. Концы пружин, в свою очередь крепятся к левой и правой стене. Обе пружины находятся в растянутом состоянии. Известны величины абсолютных деформаций пружин и их жесткости. Необходимо найти силу натяжения нити. Вся система покоится, трения нет.

10°.02 Решение
Расставим силы

Выясним как направлена сила упругости нити в А.
Поместим в эту область виртуальную пружинку и посмотрим что с не будет происходить ("лишние" силы убраны с рисунка)       

Под действием силы упругости левой пружинки второе тело "стремится" сместится влево, под действием силы упругости правой пружинки первое тело "стремится" сместится вправо и, следовательно наша виртуальная пружинка будет растягиваться. Покажем силы упругости создаваемые виртуальной пружинкой.

Из рисунка видим, что на второе тело сила упругости со стороны нити действует вправо (показана более темным зеленым цветом). Аналогично рассуждая, получим что на первое тело действует сила упругости нити направленная влево. Причем эти силы упругости будут равны по модулю.
  

На рисунке все силы, кроме парных показаны с разной длинной, но это лишь говорит, что мы пока  не знаем как они соотносятся. Ответим на этот вопрос.

Так как второе тело покоится следовательно  

(10.08)

Так как первое тело покоится следовательно    

(10.09)

Силы натяжения нити одинаковы по модулю  

(10.10)

 Следовательно силы упругости левой пружины равны по модулю силам упругости правой пружины.

(10.11)

Т.е. все силы будут одинаковы по модулю

И для того что бы найти силу натяжения, достаточно найти из закона Гука любую из сил упругости пружин действующих на тело.  

Например.

(10.12)

Задача решена.
    

 

 

 

 

 

Содержание №2

 

Содержание №3

 

Содержание №4