§2.08 Сила тяготения. Искусственные спутники.

1°. Закон всемирного тяготения
Между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения (силы тяготения,гравитационные силы), прямо пропорциональные массам этих то-чек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними. Модуль силы тяготения определяется выражением

(1.01)

G = 6.67*10-11

Гравитационные силы направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие точки, и поэтому называются центральными силами. 

На рисунке F2/1 и F1/2 силы тяготения. По III закону Ньютона

(1.02)

 


2°. Условия применимости
Закон всемирного тяготения в указанной форме справедлив не только для двух материальных точек, но и для

а) тел произвольной формы, размеры которых во много раз меньше расстояний между центрами масс (xxx) тел;

б) тел со сферически-симметричным распределением масс.

В этих случаях L - расстояние между центрами масс взаимодействующих тел.

3°. Сила тяжести. Ускорение свободного падения.

На любое тело на поверхности Земли действует сила тяжести, направленная вертикально вниз , значение которой определяется как:   

(3.01)

где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли,

m - масса тела

По своей природе сила тяжести это не что иное, как сила тяготения, соответственно ее значение может быть определено по формуле (1.01).

Будем считать, что Земля это однородный шаром массой М и радиусом  R. Так как размер любого тела на поверхности Земли намного меньше ее радиуса, можно считать что расстояние между центрами тел равно радиусу Земли

 

L = R

 

тогда в соответствии с (1.01) сила взаимодействия между любым телом на поверхности Земли и самой Землей определяется как  

 

(3.01)

Так как сила тяжести и сила тяготения это одно и то же можем записать:

(3.02)

Сокращая m, получим формулу для ускорения свободного падения на поверхности Земли (или другой планеты):

(3.03)

Из формулы (3.02) можно получить важное соотношение, которое на пригодится в дальнейшем.

(3.04)

Если тело находится на высоте h над поверхностью планеты, то для силы тяжести получаем:

(3.05)

где h - высота над поверхностью планеты

 

3°.01 Вес тела. Невесомость

Рассмотрим тело, находящееся в поле силы тяжести. Предположим, что есть опора или подвес, препятствующие свободному падению тела. Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес §(2.07 п.6°).  

Рассмотрим два случая, когда тело движется ускоренно вверх, и ускоренно вниз.

Второй закон Ньютона в обоих случаях имеет вид:

(3.05)

так как на тело в обоих случаях действуют лишь две силы - сила тяжести mg и реакция опоры N (см. рис. ниже)

 

Первый случай.

 

Запишем

Ось направим вертикально вверх по ускорению (правило выбора направления оси ). Тогда в проекции на ось OY уравнение (4.01) примет вид

(3.06)

и

(3.07)

так реакция опоры N по III Закону Ньютона всегда равна весу тела P то можем записать для веса в этом случае

(3.08)

Таким образом при вертикальном движении с некоторым ускорением направленным вертикально вверх, тело находящееся на поверхности испытывает перегрузку , т.е. его вес будет больше силы тяжести.

 

Примечание

Состояние перегрузки часто характеризуют коэффициентом при g , например, говорят 2g когда хотят сказать что вес в два раза больше силы тяжести или 3g когда вес в три раза больше и т.д. Отметим, что состояние перегрузки теснейшим образом связно с целостностью или наоборот, разрушением тела. Любое тело можно охарактеризовать коэффициентом при g, при котором оно разрушается. Так в частности, человек способен кратковременно выдержать состояние перегрузки в 9g. Такие перегрузки (и выше) могут возникать при ударах во время падения или же ударах сопровождающих различные дорожно-транспортные происшествия.  

 

Второй случай.

Спроецировав II закон Ньютона на ось OY и учтя что вес равен реакции опоры, получим для этого случая

(3.09)

Таким образом при вертикальном движении с некоторым ускорением направленным вертикально вниз, тело находящееся на поверхности имеет вес меньше чем  сила тяжести.

При условии что

a = g

(3.10)

т.е. при свободном падении, вес тела обращается в нуль. Это — состояние невесомости, при котором тело вообще не давит на опору.

 

Вопрос на понимание: Космонавты приземляются на Луне двигаясь равнозамедленно. Что они испытывают невесомость или перегрузку?
Ответ.
Будет ли иметь место "перегрузка" или "невесомость" зависит от направления ускорения, (не скорости). Так как движение замедленное, направления скорости и ускорения противоположны следовательно, ускорение направлено вверх и они испытывают перегрузку.

 

 
 
4°.01 Спутник планеты.
Тело движущееся по стационарной орбите вокруг планеты называется спутником планеты.
Условием стационарного движения тела вокруг планеты является выражение (4.03)
Мысленный эксперимент.
Предположим у нас есть высокая башня, с которой можно кидать камни горизонтально с какой угодно скоростью, технологии нам так же  позволяют уменьшить сопротивление воздуха до нуля. Траектории камня при последовательном увеличении скорости показаны на рисунке.
   

Мы видим, что тело падает все дальше от точки броска, траектория все больше становится похожа на окружность.  Логично предположить, что при некоторой скорости параболическая траектория превратится в окружность и тело вообще никогда не упадет на поверхность. С точки зрения ускорения это означает, что тангенциальное ускорение станет равным нулю (тело вращается вокруг планеты вечно, его скорость по модулю не меняется) т.е.

(4.01)

Заметим, что тело движется под действием силы тяжести, его ускорение (полное) не меняется и равно g. При этом мы помним, что полное ускорение это векторная сумма нормального и тангенциального ускорений (§1.4 п.5°)

(4.02)

Следовательно, когда траектория тела становится окружностью (aτ = 0), полное ускорение становится равным центростремительному  и, т.е. выполняется соотношение (4.03)


(4.03)

 

 
5°. Скорость спутника планеты.
Итак примем что условие (4.03) выполняется т.е. an  = gh

Учитывая, что нормальное и центростремительное ускорение это одно и то же, а так же соотношение  (3.04) получим

(4.04)

Откуда после сокращения Rз + h , для скорости спутника движущегося на высоте h от поверхности планеты получим:

(4.05)

учитывая соотношение (3.03) формула (4.05) принимает вид

(4.06)

Последнее уравнение удобно использовать кода не известна масса планеты. 

1°. Первая космическая скорость.      
Минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу вблизи поверхности планеты (h = 0) что бы оно стало спутником планеты - называется первой космической скоростью.
 
Из (4.05) и (4.06) с учетом того что для первой космической скорости h = 0 получим
 

(4.07)

и

(4.08)

  соответственно

Первая космическая скорость для Земли равна 7,9 км/с.
 
Существуют так же вторая и третья космические скорости.
Вторая космическая скорость - наименьшая скорость, которую необходимо придать телу, для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела. Для Земли  вторая космическая скорость равна 11,2 км/с.

Третья космическая скорость — минимально необходимая скорость тела, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы в межзвёздное пространство. Для Земли  третья космическая скорость равна 16,7 км/с.

  

 
 
 

Содержание №2

 

Содержание №3

 

Содержание №4