§3.02. Закон сохранения импульса

1°. Второй закон Ньютона в импульсной форме для системы тел
Ранее мы получили II закон Ньютона в импульсной форме для одного тела §3.01 (1.04) , однако это выражение может быть применено и к системе тел.
Для системы тел оно будет иметь вид:

(1.01) где

разность конечного и начального импульса системы

сумма внешних сил

промежуток времени в течении которого действует сила  


1°.01. Вывод соотношения (1.01) для случая двух тел.
Пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами p1 и p2 соответственно. Импульс pc системы данных тел - это векторная сумма импульсов каждого тела (§3.01 п.2°) :

(1.02)

 

Тела действуют на друг друга посредством сил Т1 и Т2 , согласно §3.01 п.5° это внутренние силы. Силы со стороны внешних тел обозначены на рисунке F1 и F2 - это внешние силы.
Запишем для каждого тела II закон Ньютона в импульсной форме.

(1.03) - для первого тела

  

(1.04) - для второго тела

  Просуммируем (1.02) и (1.03)

(1.05)

Учтем, что в соответствии с III законом Ньютона, силы с которыми тела действуют друг на друга равны по модулю и противоположны по направлению т.е.

(1.06)

 Следовательно сумма внутренних сил равна нулю и соотношение (1.05) приобретает вид:

  Мы получили соотношение (1.01) для двух тел, но оно может быть легко обобщено для произвольного количества тел.
    

2°. Закон сохранения импульса.
Из соотношения (1.01) следует, что если сумма внешних сил равна нулю, т.е. система является замкнутой (§3.01 п.5°.) то,

(2.02)

 или в развернутой форме закон сохранения импульса имеет вид:

(2.03), где

 суммарный импульс системы в начальном состоянии

 суммарный импульс системы в конечном состоянии

Таким образом суммарный импульс замкнутой системы не изменяется с течение времени.

 


3°. Условия выполнения закона сохранения импульса.
Главное условие выполнения закона сохранения импульса уже было сформулировано выше - это равенство нулю равнодействующей внешних сил.

(3.01)

Однако бывают ситуации, когда система не является замкнутой, но мы все же можем применить закон сохранения импульса. Что это за ситуации?

 

3°01. Первая ситуация.

Первая ситуация подразумевает, что существует направление, вдоль которого внешние  силы не действуют т.е. сумма проекций внешних сил на это направление равна нулю. Тогда, направив ось OX в этом направлении будет верным равенство:

(3.02) (проекция внешних сил равна нулю)

и    

(3.03)

 т.е сохранятся проекция импульса на ось OX.

Пример.

Шарик попадает в тележку с песком, после чего продолжает двигаться вместе с тележкой.
На рис. видно, что на тело нашей системы (тележку) действуют две внешние силы: реакция опоры и сила тяжести. В момент удара эти силы не уравновешены, но в горизонтальном направлении ни какие силы не действуют.
В этом случае полный импульс системы изменяется, но проекция импульса системы на ось OX изменяется не будет

(3.01)


3°02. Вторая ситуация

Вторая ситуация, имеет место в том случае когда равнодействующая внешних сил не равна нулю, но выполняются два условия:

1. время  воздействия внешней равнодействующей силы мало

(3.04)

2. внешняя сила имеет ограниченный характер, т.е. ее значение в процессе взаимодействия не может принимать бесконечно больших значений.

примером ограниченной силы может быть сила тяжести, примером неограниченной, или как их еще называют ударной силы, может быть реакция опоры.  

Пример

Пушка выстреливает ядро под некоторым углом к горизонту. В верхней точке траектории происходит взрыв в результате чего ядро разделяется на две части.  
Система состоящая из осколков ядра не является замкнутой, так как действует внешняя не скомпенсированная сила - сила тяжести mg.
Однако, в этом случае импульс системы перед взрывом будет равен импульсу системы сразу после взрыва, так как за время взрыва сила тяжести не "успеет" изменить импульс системы.
Математически это выглядит так:
применим к нашей системе II закон Ньютона в импульсной форме

(3.05)

так как выполняется соотношение (3.04) будет верным равенство (3.06)

(3.06)

откуда

(3.07)

Отметим, еще раз что одинаковыми будут импульсы системы перед взрывом и сразу после взрыва. Если мы сравним импульсы нашей системы на более значительном промежутке времени, например перед взрывом, в верхней точке траектории, и перед падением на поверхность земли, в этом случае импульсы, конечно, не будут равны, так как за время падения сила тяжести успеет существенно изменить импульс системы.   

 

 
4°. Алгоритм применения закона сохранения импульса.
Для корректного применения соотношения (2.03) необходимо выполнить ряд действий. Проиллюстрируем их на примере решения следующей задачи.
Условие.
Человек бежит с некоторой скоростью. На его пути находится неподвижная тележка. Добежав до тележки человек, вспрыгивает на нее, и они продолжают двигаться вместе.  Необходимо найти скорость движения тележки вместе с человеком, если известно, что трением можно пренебречь, направление движения человека совпадает с направлением возможного движения тележки, все массы и начальная скорость человека известны.      

1. Необходимо определится с тем,

    а) какие тела мы будем считать телами системы, и соответственно какие тела будем считать внешними телами;  

    б) так же необходимо выяснить, что мы будем считать начальным состоянием системы и что конечным.

В нашем примере телами системы будем считать человека и тележку, внешними телами, действующими на нашу систему, будут "поверхность" и "Земля". Начальное состояние системы - это неподвижная тележка и бегущий человек, конечное состояние - это человек движущийся вместе с тележкой.

2. Необходимо определить является ли наша система замкнутой. Если система не замкнута необходимо проверить не реализуется ли в нашем случае ситуация №1 (п.3°01)   или ситуация №2 (п.3°02)

В нашем случае присутствуют внешние силы - это сила тяжести mg и сила реакции опоры N , но их сумма в любой момент времени равна нулю, следовательно система замкнута.  

3. Необходимо записать закон сохранения импульса в векторной форме, либо, если имеет место ситуация №1 (п.3°01), - записать закон сохранения импульса в проекции на выбранное направление.  

В нашем случае:

(4.01)

4. Необходимо от векторной формы записи закона сохранения импульса перейти к скалярной форме используя либо метод проекций (§3.01 п.4°.02), либо геометрический метод (§3.01 п.4°.03).

В нашем случае удобно приметь метод проекций. В результате получим:

(4.02)

 


5°. Область применения закона сохранения импульса

Как мы уже теперь знаем в определенных условиях суммарный импульс системы не изменяется с течением времени, вне зависимости от того что происходит "внутри" системы. И это свойство импульса имеет ключевое значение, как для решения отдельных задач, так и для всей физики в целом. Почему это так важно?

Давайте обратимся к нашему "простому" примеру с человеком и тележкой.

Опираясь на закон сохранения импульса, мы легко решили эту задачу, в несколько действий. Но как бы мы решали ее, не будь в нашем распоряжении закона сохранения импульса? Вероятно, нам пришлось бы опираться на динамику и кинематику. Но проблема в том, что силы, которые возникают в процессе взаимодействия человека и тележки имеют сложный характер, т.е. они изменяются с течением времени, более того, мы не знаем по какому закону они изменяются. Таким образом, решение даже этой незамысловатой задачи без использования закона сохранения импульса превращается в решение весьма нетривиальной задачи.

Итак, в чем же "сила" закона сохранения импульса и, соответственно, каковы ситуации, где его применение будет наиболее эффективным?

"Сила" закона сохранения импульса  в том, что он позволяет соотнести напрямую два состояния системы, не требуя при этом строго математического описания того, что происходит внутри системы между этими двумя состояниями.

Соответственно использовать закон сохранения импульса необходимо там, где необходимо соотнести начальное и конечное состояние системы, но процесс, который "соединяет" эти состояния имеет сложный характер и не доступен для описания.

В школьных задачах по физике, в том числе в экзаменационных задачах, это различного рода удары и взрывы.  

 
 

Содержание №2

 

Содержание №3

 

Содержание №4