§3.06 Закон сохранения энергии

1°. Понятие консервативных и диссипативных сил.
1°.01 Консервативные силы.

Консервативные силы - это такие силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и  конечным положением тела называются , все остальные силы,  являются - не консервативным.

Консервативными силами в механике являются:

Сила тяжести mg

как силу тяготения Земли вблизи ее поверхности

Сила упругости Fупр

как сила упругой деформации подчиняющейся закону Гука  

Сила тяготения Fт
Как сила гравитационного взаимодействия описывающаяся законом всемирного тяготения   

Сила Архимеда FА

 

1°.02 Диссипативные силы

Диссипативные силы - это вид не консервативных сил, действие которых сопровождается выделением тепла, работа диссипативных сил зависит от траектории движения тела

К диссипативным силам относят

Сила сопротивления среды Fсопр

например сопротивление воздуха при падении тела

 Силу трения скольжения Fтр ск

Сила реакции опоры N, возникающая при неупругом ударе

 

1°.03 Внешние и внутренние силы.

Понятие внешних и внутренних сил, было введено ранее в §3.01 п.6°. но в силу важности данного понятия для закона сохранения энергии, приведем его еще раз здесь.

Внутренние силы - это силы взаимодействия между телами системы. Внешние силы - это силы действующие на систему со стороны тел не входящих в систему.

Важное замечание: в отличие от консервативных (не консервативных сил),  внешние (внутренние) силы определяются нами субъективно.

Т.е. например, в одной задаче сила упругости может быть внутренней силой, в другой задаче внешней, но она всегда является консервативной силой, сила трения скольжения в одной задаче может быть внешней силой, в другой внутренней силой, но она всегда является диссипативной силой.


2°. Закон сохранения (изменения) механической энергии системы.

Закон сохранения полной механической энергии системы имеет следующий вид:

(2.00) где

 изменение полной механической энергии системы

работа внешних не диссипативных сил (далее просто "внешних сил")

 работа диссипативных сил как внешних, так и внутренних

 

 

Рассмотрим применение этого закона для трех, наиболее типичных ситуаций.

2°01. Ситуация первая.
Работа внешних не диссипативных сил равна нулю и работа диссипативных сил (как внешних, так и внутренних ) равна нулю.

(2.01)

Системы для которых выполняются условие (2.01)назовем - консервативными.

Для консервативных систем соотношение (2.00) принимает вид.

(2.02)

Т.о. для консервативных систем закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом
 
"В консервативных системах, полная механическая энергия системы с течением времени не изменяется. Возможен лишь переход энергии из одной формы в другую, а так же перераспределение энергии между телами".
 
Пример №1

Камень падает с некоторой высоты h1 без начальной скорости. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Необходимо найти скорость камня у поверхности земли.
Прежде чем переходить поиску и записи необходимых формул, ответим на несколько важных вопросов.

Во-первых, какие тела включить в систему, и соответственно, какие тела считать внешними?

Ответ: тела системы мы определяем субъективно, так что бы нам было наиболее удобно решать задачу. В данном случае будем считать телами системы камень и Землю и, соответственно, считать что внешних тел нет.  

Следовательно, AFвш = 0

Во-вторых, присутствуют ли в системе диссипативные силы?

Ответ: нет, так как по условию задачи сопротивление воздуха отсутствует.
Следовательно AFдисс = 0
Ответы на первый и второй вопрос позволяют нам сделать вывод что условия (2.01) выполняются и система является консервативной.
Значит - можем применить закон сохранения энергии в форме (2.02)
  


(2.03)

 

Откуда конечная скорость V1

 
 
Пример №2
Тяжелый шарик падает вертикально расположенную пружину. Известны начальная скорость шарика Vн, его масса m, а так же жесткость пружины k. Масса пружины пренебрежимо мала, силы трения в системе отсутствуют. В момент соприкосновения шарика с пружиной он находился на высоте hн. Необходимо найти скорость шарика  Vк в момент времени, когда деформация пружины ΔX будет равна Lк
  

  
Как и в предыдущей задаче определимся с телами системы. Договоримся считать телами системы шарик, пружину и Землю, внешним телом тогда будет - поверхность на которую опирается пружина.   
Отметим, что в этом случае система не замкнута! так как со стороны поверхности на систему действует внешняя сила N.

Однако ее работ равна нулю, так как отсутствует перемещение.
Следовательно можем заключить что  AFвш = 0

Второй вопрос, присутствуют ли в системе диссипативные силы? Ответ - нет, так как по условию задачи силы трения отсутствуют.

Следовательно AFдисс = 0
Ответы на первый и второй вопрос позволяют нам сделать вывод, что условия (2.01) выполняются и система является консервативной.
Значит - можем применить закон сохранения энергии в форме (2.02)    

  
 Заметим что   hн-  hк = Lк   это соотношение пригодится нам в процессе решения.   

(2.04)

Преобразуя (2.04) получим

(2.05)


(2.06)


(2.07) здесь мы учли что  hн-  hк = Lк  и  ΔXк =  Lк

  

(2.08)

  
 
2°02. Ситуация вторая
На систему действуют не скомпенсированные внешние силы и их работа не равна нулю, в системе отсутствуют диссипативные силы.

(2.09)

Назовем эту ситуацию - неконсервативная система без диссипативных сил

В этом случае полная механическая энергия системы изменяется, а ее изменение равно работе внешних сил.

(2.10)

полная механическая энергия системы в конечном состоянии

полная механическая энергия системы в начальном состоянии

Работа внешних сил


Пример №3  

На горизонтальной поверхности находится детская радиоуправляемая машинка. Через систему блоков к ней прикреплен груз массой m. Машинка начинает двигаться вправо под действием силы F (это усилие создает двигатель машинки). Пренебрегая массой машинки, считая нити невесомыми и нерастяжимыми, а блоки идеальными, определить чему будет равна скорость груза, в тот момент когда машинка пройдет расстояние s. В начальный момент вся система покоилась.    

Решение.
1. Определимся какие тела входят в систему, а какие являются внешними телам
Будем считать системой - груз и Землю, внешними телами - нить, блоки, поверхность и машинку. Система является не замкнутой так как действуют не скомпенсированные внешние силы, а именно сила натяжения T, причем ее работа не равна нулю.

Следовательно

 

2. Присутствуют-ли в системе диссипативные силы? Каких-либо сил сопротивления нет, неупругие удары так же отсутствуют - диссипативных сил нет.

Следовательно

 

Значит можем применит закон сохранения энергии в форме (2.10)

3. Так же уточним, что является начальным, и что конечным состоянием системы.

Очевидно, что начальным состоянием будет состояние покоя всех частей системы, конечным состоянием - момент когда машинка проедет расстояние s, отметим сразу, что так как все блоки неподвижны, а нить нерастяжима, то груз при этом поднимется на высоту h причем

(2.11)

 Применим к нашей системе закон сохранения энергии (2.10).

(2.12)

Выбрав начальный уровень потенциальной энергии в самом нижнем положении груза, получим что в начальном состоянии полная механическая энергия системы равна нулю.

(2.13)

 Полная механическая энергия в конечном состоянии равна

(2.14)  

Работа внешней силы, силы натяжения T равна    

(2.15)

Собирая все в законе сохранения энергии получим

(2.16)

Проанализируем уравнение (2.16)
В нем нам не известны h и сила натяжения T (не считая искомого параметра V). C одним из параметров мы уже разобрались, мы знаем что h = s. Но что делать с силой натяжения? Применим II закон Ньютона к машинке, учтем при этом что ее масса равна нулю, тогда в проекции на ось OX получим:

(2.17)

 или же     

(2.18)

аналогично можно показать, что T = T/ . Теперь можем записать (опуская лишние нули и единицы и учитывая (2.04) и (2.10))

(2.19)

откуда искомый параметр

(2.20)

   
Пример №4 - "не стандартный выбор тел системы"

Рассмотрим еще раз задачу со свободно падающим телом. Выше мы уже решили ее, считая камень и землю телами системы и, соответственно, рассматривая силу тяжести mg как внутреннюю, но выбор тел системы осуществляется субъективно, поэтому мы можем подойти к определению тел системы иначе. Будем считать теперь, что системой является единственное тело - камень, и соответственно Земля - это внешнее тело. И хотя на конечный результат такой выбор не повлияет, на некоторые технические моменты решения он повлияет существенно.

Во-первых, теперь наша система не замкнута и работа внешних сил не равна нулю, следовательно, мы учитываем в (2.09) и закон сохранения энергии принимает вид (2.10)

Во-вторых, и это принципиально, раз мы вывели силу тяжести из системы, то и полная механическая энергия теперь определяется иначе, именно

Т.е. потенциальной составляющей силы тяжести нет, так как действие силы тяжести мы учтем теперь иначе, а именно как работу внешней силы.

Перемещение тела равно высоте Δr = h , следовательно работа силы тяжести Аmg = mg*h и окончательно, (2.10) можем записать следующим образом

  
  
Откуда

Вывод. Выбор объектов входящих в систему осуществляется нами субъективно, следовательно мы сами определяем являются ли сила тяжести и/или сила упругости внутренними или внешними силами. Если по каким-то причинам мы считаем силу тяжести и/или силу упругости внешней силой, мы должны учесть это в определении полной энергии тела, исключив из нее потенциальную энергию силы тяжести и/или потенциальную энергию силы упругости.   


2°03. Ситуация третья
Внутри системы есть диссипативные силы и на систему действуют внешние силы, работа которых не равна нулю.
В данном случае изменение полной механической энергии равно сумме работ внешних сил и сумме работ диссипативных сил

(2.21)

если учесть что при неупругом ударе вся работа превращается в тепло т.е.

(2.22)

соотношение (2.21) можно записать в более удобной форме 

(2.23)

 
 

3°. Алгоритм применения закона сохранения энергии
  1. Определиться с телами системы, т.е. выбрать исходя из личных предпочтений какие тела мы будем считать телами системы, а какие внешними телами.
  2. Определить совершают ли работу внешние силы (если они есть).
  3. Определить есть ли в системе диссипативные силы.
  4. На основании ответов п.2 и п.3 определить как будет выглядеть закон сохранения энергии для данного случая - (2.02) или (2.10) или (2.23)
  5. Выбрать начальное и конечное состояния системы в соответствии с условием  задачи
  6. "Расписать" полную энергию для начального состояния и аналогично для конечного состояния, по необходимости "расписать" работу внешних и/или диссипативных сил.
 
 
4°. Область применения закона сохранения энергии
Закон сохранения энергии - один из фундаментальных законов физики, его значение трудно переоценить. Чем же он так полезен?
Его значение в том, что он, как и закон сохранения импульса, позволяет "напрямую" соотнести два состояния системы, не требуя при этом строго математического описания того, что происходит внутри системы между этими двумя состояниями.
Соответственно областью применения закона сохранения энергии являются в первую очередь те задачи, где необходимо соотнести два состояния какого либо сложного процесса. Простейший пример: тяжелый шарик на нити отклонили от вертикали на некоторый угол, необходимо найти скорость шарика в нижней точке траектории после того как его отпустили . Движение по окружности, которое будет совершать шарик, является "сложным", так как в этом процессе меняется величина и направление ускорения. В то же время с точки зрения закон сохранения энергии это абсолютно элементарная ситуация.
Итак, где следует ожидать применения закона сохранения энергии ?
Это ситуации движения по окружности в поле силы тяжести и вообще движения по к.л. сложным поверхностям, ситуации движения под действием силы упругости, особенно если кроме сил упругости присутствуют к.-л. внешние силы или силы трения, ситуации связанные с упругими и неупругими ударами и многие другие.     
 

Содержание №3

 

Содержание №4