§1.3. Скорость

1°. Физический смысл

Скорость показывает как БЫСТРО изменяется положение тела в пространстве с течением времени. Средняя скорость характеризует движение в течение всего того промежутка времени Δt , для которого она определена.

Еще один смысл средней скорости.
Поясним на примере. Допустим первую половину пути скорость тела была 10 м/с , вторую половину 15 м/с. Средняя скорость такого движения равна 12м/с. Что означает это число? В данном случае 12 м/с это скорость такого равномерного движения, которое эквивалентно исходному неравномерному движению. т.е. двигаясь равномерно со скоростью 12 м/с тело за то же время, пройдет такое же расстояние, как если бы оно первую половину пути двигалось со скорость 10 м/с, а вторую со скоростью 15 м/с.
2°. Средняя скорость перемещения

Средней скоростью перемещения  за промежуток времени  называется физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки Δr к длительности промежутка времени Δt

 (2.01)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения Δr.

3°. Средняя скорость пути

Средней скоростью пути за промежуток времени t  называется физическая величина, равная отношению пути пройденного точкой S к длительности промежутка времени t, за который он был пройден.

(3.01)
3°01. Средняя скорость при условии равенства промежутков времени.

Если тело проходит последовательные одинаковые по времени участки пути (t1 = t2= t3 = t)  так что на первом участке его скорость V1, на втором V2, на третьем V3
то среднюю скорость пути для всего участка можно найти по формуле

(3.02)

т.е. средняя скорость в данном случае находится просто как среднее арифметическое, причем эта закономерность справедлива для любого количества участков.

Средняя скорость это среднее арифметическое скоростей только для случая если время движения на разных участках движения одинаково!

Докажем соотношение (3.02)

Средняя скорость пути в соответствии с (3.01) определяется как отношение общего пути к общему времени

(3.03)

В нашем случае промежутки времени одинаковы, поэтому удобно и числитель и знаменатель выразить через общий параметр t.
Так как на отдельном участке скорость не меняется S = V*t,  тогда формула (1.04) приобретет вид

(3.04)

Немного упростим (3.04)

(3.05)

сокращая параметр t, мы получим (3.02)

3°02. Средняя скорость при условии равенства двух участков пути.

Если тело проходит два последовательных одинаковых по длине  участка пути (S1 = S2  = S) , так что на первом участке его скорость V1, на втором V2, то среднюю скорость пути для всего участка можно найти по формуле

(3.06)

Докажем соотношение (3.06 )

Средняя скорость пути в соответствии с (3.01) определяется как отношение общего пути к общему времени

(3.07)

В нашем случае одинаковы расстояния, проходимые телом на первом и втором участках S1 = S2  = S , поэтому удобно и числитель и знаменатель выразить через общий параметр S. Так как на отдельном участке скорость не меняется t = S / V,  тогда формула (3.07) приобретет вид

(3.08)

Упростим. В числителе приведем подобные слагаемые, в знаменателе сложим дроби и вынесем за скобку параметр S

(3.09)

сокращая параметр S, и избавляясь от трехэтажности получим (3.06).

Важно отметить что (3.06) в такой форме справедлива только для двух участков, однако это соотношение можно распространить и
на неограниченное количество участков, но при этом его форма существенно изменится и оно приобретет вид

(3.10)
где n — число участков
4°. Мгновенная скорость

Мгновенной скоростью (скоростью в данный момент времени) называется физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость (п. 1°) при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt

(4.01)

Мгновенная скорость равна пределу отношения элементарного перемещения Δr к элементарному промежутку времени Δt, в течение которого это перемещение происходит. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории.
Направление скорости называют направлением движения точки (рис. 1.1.7).

4°01. Смысл понятия мгновенной скорости на простом примере (автор И.В.Яковлев).
Спидометр автомобиля показывает 60 км/ч. Что это значит? Ответ простой: если автомобиль будет ехать так в течение часа, то он проедет 60 км.
Допустим, однако, что автомобиль вовсе не собирается ехать так целый час. Например, водитель разгоняет автомобиль с места, давит на газ, в какой-то момент бросает взгляд на спидометр и видит стрелку на отметке 60 км/ч. В следующий момент стрелка уползёт ещё выше. Как же понимать, что в данный момент времени скорость равна 60 км/ч?
Давайте выясним это на примере.
Предположим, что путь s, пройденный автомобилем, зависит от времени t следующим образом (расстояния и время будем брать в метрах и секундах, соответственно):

s(t) = t2,

То есть, при t = 0 путь равен нулю, к моменту времени t = 1 пройденный путь равен s(1) = 1, к моменту времени t = 2 путь равен s(2) = 4, к моменту времени t = 3 путь равен s(3) = 9, и так далее.
Видно, что идёт разгон, то есть автомобиль набирает скорость с течением времени. Действительно:

  • за первую секунду пройдено расстояние 1;

    • за вторую секунду пройдено расстояние s(2) − s(1) = 3;

    • за третью секунду пройдено расстояние s(3) − s(2) = 5,

и далее по нарастающей.
А теперь вопрос. Пусть, например, через три секунды после начала движения наш водитель взглянул на спидометр. Что покажет стрелка? Иными словами, какова мгновенная скорость автомобиля в момент времени t = 3 ?
Просто поделить путь на время не получится: привычная формула v = s/t работает только для равномерного движения (то есть когда стрелка спидометра застыла в некотором фиксированном положении). Но именно эта формула лежит в основе способа, позволяющего найти мгновенную скорость.
Идея способа такова.
Метафорически выражаясь — «рассмотрим окрестности момента времени t = 3 под лупой»


Отсчитаем от нашего момента t = 3 небольшой промежуток времени
Δt, найдём путь Δs, пройденный автомобилем за этот промежуток, и поделим Δs на Δt. Чем меньше будет Δt, тем точнее мы приблизимся к искомой величине мгновенной скорости. Давайте посмотрим, как эта идея реализуется.

Возьмём для начала Δt = 1. Тогда

Δs = s(4) − s(3) = 42 − 32 = 7,
и для скорости получаем: Δs / Δt = 7 / 1 = 7 (скорость, измеряется в м/с).

Будем уменьшать промежуток Δt.
Берём Δt = 0,1:

Δs = s(3,1) − s(3) = 3,12 − 32 = 0,61, Δs / Δt = 0,61 / 0,1 = 6,1.

Теперь берём Δt = 0,01:

Δs = s(3,01) − s(3) = 3,012 − 32 = 0,0601, Δs / Δt = 0,0601 / 0,01 = 6,01.

Ну и возьмём ещё Δt = 0,001:

Δs = s(3,001) − s(3) = 3,0012 − 32 = 0,006001, Δs / Δt = 0,006001 / 0,001 = 6,001.

Глядя на вычисленные значения скорости, мы понимаем, что величина Δs/Δt приближается к числу 6. Это означает, что мгновенная скорость автомобиля в момент времени t = 3 составляет 6 м/с.
Таким образом, при безграничном уменьшении Δt путь Δs так же стремится к нулю , но отношение Δs/Δt стремится к некоторому пределу v, который и называется мгновенной скоростью в данный момент времени t.

Весь учебник можно найти здесь