торого
Скачать конспект “Алгоритм применения второго закона Ньютона“.
К_2.02 АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ 2-го ЗАКОНА НЬЮТОНА
Содержание
§1. АЛГОРИТМ
1.1°. Конспект “Алгоритм применения 2-й закона Ньютона”
1.2°. Второй закон Ньютона
1.3°01. Алгоритм применения второго закона Ньютона. Общая часть.
1.3°02 Алгоритм применения второго закона Ньютона. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
1.3°03. Алгоритм применения второго закона Ньютона. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД.
Второй закон Ньютона устанавливает соотношение между силой действующей на тело и его ускорением. Согласно второму закону Ньютона
- ускорение, приобретаемое телом прямо пропорционально равнодействующей всех сил действующих на него,
- ускорение обратно пропорционально массе тела,
- ускорение по направлению совпадает с вектором равнодействующей силы.
| (1.01) |
Пример
Тело вращается на нити с постоянной по модулю скоростью, как показано на рисунке.
Можно ли определить как направлена равнодействующая сила?
Понятно, что для того что бы найти равнодействующую необходимо геометрически сложить mg и T , но очевидно и то, что направление равнодействующей зависит от того как соотносятся mg и T, а мы не знаем как они соотносятся. Можно ли, тем не менее, ответить на поставленный вопрос?
Так как ускорение тела направлено к центру, то и равнодействующая всех сил действующих на тело так же будет направлена к центру.
Второй закон в данной формулировке справедлив если
- движение тела рассматривается относительно ИСО
масса тела не изменяется (m = const)
скорость тела намного меньше скорости света
размерами тела можно пренебречь и все силы приложены к одному и тому же телу.
Второй закон Ньютона в форме (1.01) в задачах практически не применяется. Чаще всего мы будем использовать его в виде :
| (1.02) |
Далее рассмотрим алгоритм применения второго закона Ньютона
1. Делаем рисунок.
2. Изображаем все силы на рисунке. Что бы "не забыть" какую-нибудь силу используем правило сил.
Правило сил.
Что бы определить какие силы действуют на тело, необходимо выяснить какие тела действуют на него. Далее исходим из предположения, что одно действующее тело "дает" одну силу. Из этого правила ЕСТЬ ДВА ИСКЛЮЧЕНИЯ.
Первое – ПОВЕРХНОСТЬ, дает две силы – силу трения F→тр и силу реакции опоры N→.
Второе – СРЕДА (воздух, вода), дает две силы – силу сопротивления, силу Архимеда.
3. Записываем 2-й закон Ньютона в векторной форме:
Далее в зависимости от ситуации используем либо "метод проекций", либо "геометрический метод".
Проиллюстрируем применение(1.02) на следующем примере.
| Материальная точка массой m кг движется под действием трех сил, модули которых равны друг другу и равны F. Вектора сил лежат в одной плоскости и образуют два угла α. С каким ускорением движется точка? |
Правило выбора направления осей
Оси выбираем таким образом, что бы одна из осей была направлена по ускорению. Типичный пример наклонная плоскость. Ось OX направляем не горизонтально, а вдоль наклонной плоскости.
|
Если ускорение равно нулю, то направления осей выбираем так, что бы по отношению к осям было максимальное количество перпендикулярных, либо параллельных сил. Выполнение этого правила обеспечивает получение в дальнейшем максимально простой системы уравнений.
5_МП. Проецируем каждый вектор сначала на ось OX, затем на ось OY
Из проекции на ось ОХ, с учетом того что силы по модулю одинаковы, найдем ускорение
|
4_ГМ. Выполняем "геометрическое" сложение векторов сил
|
В данном случае, учитывая симметрию, необходимо сначала сложить силы F1 и F2 получить силу F12 которую, затем сложить с оставшейся F3.
5_ГМ. Выполнив геометрическое сложение векторов, необходимо установить между ними количественные соотношения.
Как проще всего это сделать в данном случае?
Рассмотрим красный треугольник
|
В этом треугольнике нас интересует сторона F12. Найти ее проще всего, если заметить, что эта сторона равна половине катета синего треугольника.
найдем этот катет. Он равен.
|
Учитывая что F123= F12+ F3 можем записать
|
Следовательно ускорение тела равно
|
Как видим оба метода дали один и то тот же результат
Рассмотрим еще два примера.
§2. Примеры решений задач.
Тело массой 10 кг передвигают вдоль гладкой горизонтальной поверхности, действуя на него силой 40 Н под углом 60° к горизонту. Найдите ускорение тела.
1. Читаем задачу, отмечаем особенности.
Тело массой 10 кг передвигают вдоль ГЛАДКОЙ (значит нет трения) ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ (могла бы быть вертикальная или наклонная поверхность) поверхности, действуя на него силой 40 Н под углом 60° ГОРИЗОНТУ (а мог бы быть к вертикали, и еще заметим что сила может быть под 60° вверх или 60° вниз, в задаче про это ни слова, значит скорее всего не важно).
2. Делаем рисунок.
3. Показываем ВСЕ силы, действующие на тело. Пользуемся правилом определения количества сил. (силы рисуем приложенными к ЦЕНТРУ тела).
На тело действует Земля – дает mg, действует поверхность – дает трение и реакцию опоры N, но, так как поверхность гладкая – трение не показываем, и действует еще какое-то тело (не знаем что за оно), которое дает силу F = 40 н под углом в 60° к горизонту.
Обязательно показываем вектор ускорения (если, конечно, знаем как направлен), в данном сл. тело дв. по горизонтальной поверхности, скорее всего не отрываясь от нее, значит вектор ускорения направлен горизонтально.
4. Определяемся с методом, который будем использовать.
В данном случае нам известно как направлено ускорение, и действует более 2-х сил, следовательно будем использовать МЕТОД ПРОЕКЦИЙ.
5. Выбираем оси,
таким образом, чтобы одна из осей было направлена по ускорению.
6. Записываем Второй закон Ньютона в векторной форме.
7. Проецируем каждый вектор сначала на ось OX, затем на ось OY.
Отметим , что для ответа на вопрос задачи, проекция на ось OY не понадобится.
8. Выражаем искомый параметр и подставляем числовые значения
9. Ответ: 2 м/с2
Брусок перемещают вверх вдоль вертикальной гладкой стены, прикладывая к нему силу, направленную под некоторым углом к вертикали. Найдите этот угол (в градусах), если известно, что сила нормального давления бруска на стену вдвое меньше приложенной силы.
1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.
Брусок перемещают вверх вдоль ВЕРТИКАЛЬНОЙ ГЛАДКОЙ стены, прикладывая к нему силу, направленную ПОД НЕКОТОРЫМ УГЛОМ К ВЕРТИКАЛИ.. Найдите этот угол (в градусах), если известно, что СИЛА НОРМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ БРУСКА НА СТЕНУ вдвое меньше приложенной силы ( N = 0,5 F , т.е. именно N меньше!).
2. Делаем рисунок.
3. Показываем все силы действующие на тело.
Помним, что нужно показать в том числе ускорение a и силу, действующую на стену ( приложения на стене) P.
4. Определяемся с методом, который будем использовать.
В данном случае нам известно как направлено ускорение, и действует более 2-х сил, следовательно будем использовать МЕТОД ПРОЕКЦИЙ.
5. Выбираем оси, таким образом, чтобы одна из осей было направлена по ускорению.
6. Записываем Второй закон Ньютона в векторной форме.
7. Проецируем каждый вектор сначала на ось OX, затем на ось OY.
Проанализируем уравнения на предмет того как они соотносятся с нашей информацией.
Мы знаем что N = 0.5 F - используем эту информацию. После подстановки м упрощения получим
и, следовательно, угол = 30°
Проекция второго закона Ньютона на ось OY не пригодилась.
Под действием двух взаимно перпендикулярных сил, по модулю равных 3 Н и 4 Н, тело из состояния покоя за 2 с переместилось на 20 м по направлению равнодействующей силы. Определить массу тела.
1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.
Под действием двух ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ сил, по модулю равных 3 Н и 4 Н, тело из состояния ПОКОЯ за 2 с переместилось на 20 м по направлению равнодействующей силы. Определить массу тела.
Обратим внимание так же на то что НЕ ДАНО, а именно ни чего не известно о ориентации в пространстве (нет указаний на вертикали или горизонтали), ни чего не известно что за силы действуют (т.е. мы НЕ ЗНАЕМ что это за силы – это какие-то безымянные силы) т.о. перед нами число абстрактная задача без привязки к какой-либо реальной ситуации!
Проанализируем условие на предмет того какие "темы работают". Так как речь о силовом воздействии то конечно – "Динамика" , так как известно время, начальная скорость и расстояние – работает так же "Кинематика"
Т.о. решение разбивается на два этапа
I) Работаем с динамикой;
II) Работаем с кинематикой;
ДИНАМИКА
I.1. Делаем рисунок и сразу показываем силы.
I.2. Определяемся с методом, который будем использовать.
В данном случае нам НЕ известно как направлено ускорение, и действует 2-е силы, следовательно будем использовать ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД.
I.3. Выполним построение – ГЕОМЕТРИЧЕСКИ сложим силы (например методом параллелограмма)
I.4. Записываем Второй закон Ньютона в векторной форме.
I.5. . Выразим численное значение равнодействующей.
Из рисунка понятно что
т.е. равнодействующую можно найти по теореме Пифагора.
С учетом II закона Ньютона можем записать
(*) 
Помним что нам нужно найти массу тела, следовательно нам не хватает ускорения тела. Найдем его из кинематики.
КИНЕМАТИКА
II.1. Известно расстояние пройденное телом (Δr = 20 м). Известна начальная скорость (V0 = 0), нужно найти ускорение – уравнение которое лучше всего "цепляет" имеющуюся информацию это уравнение перемещения
с учетом наших данных
Подставим это выражение в (*)
и выразим отсюда массу
Подставив численные значения, найдем что масса тела = 0.5 кг.
Нить с грузом подвешена на тележке, которая движется с ускорением 2,25 м/с^2. Найдите силу натяжения нити после того как она займет устойчивое наклонное положение. Масса груза 4 кг. g = 10 м/с^2. На рисунке показана неподвижная тележка.
1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.
Нить с грузом подвешена на тележке, которая движется с ускорением 2,25 м/с^2 (из рисунка понятно, что движется горизонтально). Найдите силу натяжения нити после того как она займет УСТОЙЧИВОЕ (колебаний нет) НАКЛОННОЕ положение (при движении груз будет отклонятся в сторону, куда именно мы пока не знаем). Масса груза 4 кг. g = 10 м/с^2. На рисунке показана неподвижная тележка.
1. Делаем рисунок и показываем силы.
Предположим, что тележка движется вправо, как при этом будет отклонятся груз? вправо или влево? Наверное когда тележка НАЧНЕТ движение вправо груз, в следствии инерции останется на месте, ну или "будет стремиться" оставаться на месте, следовательно относительно тележки он сместится влево. Это ориентировочная оценка (отклонится влево), но пока будем исходить из этого , в дальнейшем обоснуем более строго.
Обязательно показываем ускорение.
Обратим внимание что действуют только ДВЕ силы (ни каких сил инерции! на шарик действуют два тела: нить и Земля, соответственно две силы T и mg )
2. Определяемся с методом, который будем использовать.
В данном случае нам известно как направлено ускорение, и действует 2-е силы, можно использовать как метод проекций , так и геометрический метод. Выберем последний.
3. Выполним построение – ГЕОМЕТРИЧЕСКИ сложим силы.
4. Записываем Второй закон Ньютона в векторной форме.
5. . Выразим численное значение равнодействующей. (Опять "работает" теорема Пифагора.)
После подстановки чисел найдем, что T = 41 Н
Материальная точка массой 0,1 кг движется под действием трех сил, модули которых равны 10Н. Векторы сил ЛЕЖАТ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ и образуют два угла по 60°. С каким ускорением движется точка?
1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.
Материальная точка массой 0,1 кг движется под действием трех сил, модули которых равны 10Н. Векторы сил ЛЕЖАТ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ и образуют два угла по 60°. С каким ускорением движется точка?
Обратим внимание так же на то, что НЕ ДАНО, а именно, ни чего не известно о ориентации в пространстве (нет указаний на вертикали или горизонтали), ни чего не известно о том, что за силы действуют, т.о. перед нами абстрактная задача, без привязки к какой-либо реальной ситуации! Типичная ошибка!
1. Делаем рисунок и сразу показываем силы.
Обязательно показываем ускорение. Из симметрии следует, что оно параллельно силе F3.
2. Определяемся с методом, который будем использовать.
В данном случае нам известно как направлено ускорение, и действует 3-е силы, можно использовать как метод проекций , так и геометрический метод. Решим задачу методом проекций.
3. Выбираем оси, таким образом, чтобы одна из осей было направлена по ускорению.
4. Записываем Второй закон Ньютона в векторной форме.
5. Проецируем каждый вектор на ось OX, на ось OY проекция не понадобится.
6. После упрощения и подстановки
| Тело вращается на нити с постоянной по модулю скоростью, как показано на рисунке. Известны следующие значения величин r = 0,9 м, V = 3 м/с , m = 1.41 кг. Чему равна сила натяжения нити? |
Решение:
Расставим все силы действующие на тело. На него действует нить (T) и Земля (mg). Запишем II закон Ньютона в векторной форме.
Из рисунка видно, что вектора ma , mg и T образуют прямоугольный треугольник, следовательно можем модули этих векторов соотнести с помощью т. Пифагора
чтобы найти Т нам не хватает ускорения. Так как тело движется по окружности, его ускорение можно найти по формуле:
Подставив численные значения получим T = 20Н.
, первый не подходит, так как тело будет отрываться от поверхности
;){kind=link}