К_1.04_Виды движения

Скачать конспект ” Виды движения”

Равномерное прямолинейное движение

1°. Уравнение равномерного прямолинейного движения в векторной форме.

Равномерным прямолинейным  движением, называется такое движение при котором,  вектор мгновенной скорости точки V не меняется с течением времени.

Например поезд метро движущийся по прямолинейному участку пути, где-то посередине между станциями, когда не требуется набирать скорость и до остановки еще далеко.    

В случае прямолинейного равномерного движения средняя скорость пути, средняя скорость перемещения и мгновенная скорость – это одно и то же.  

(1.01)

откуда

(1.02)

Так как путь и перемещение в нашем случае совпадают, для задач удобно использовать формулу

(1.03)

2°. Уравнение координаты

Если соотношение (1.02) спроецировать на ось OX и расписать проекцию перемещения как

(2.01)

мы получим основное уравнение, описывающее равномерное прямолинейное движение – уравнение координаты.

(2.02)

Требуется отдельно уточнить, что мы  понимаем под t.

Кода мы применяем формулу (2.02) подразумевается, что есть некоторое положение тела и некоторый момент времени, которые мы считаем начальными. Т.е. когда тело находится в этом положении  показания часов принимаются равными нулю. Важно то, что начальный момент мы можем выбирать произвольно, любое положение тела может быть принято за начальное!, так вот t – это момент времени отсчитанный от этого условного начального момента.

РавноПеременное прямолинейное движение

1°. Определение равнопеременного движения

РавноПеременным движением, называется такое движение при котором, вектор скорости за любые равные промежутки изменяется одинаково.

Например, всем хорошо известное, вертикальное движение под действием силы тяжести является равнопеременным движением, так как за одинаковые промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину, а именно  за каждую секунду скорость увеличивается (уменьшается) ≈ на 9,8 м/с

2°. Уравнение скорости для равнопеременного прямолинейного движения

Рассмотрим частный случай равнопеременного движения – прямолинейное равнопеременное движение.

Выберем ось OX вдоль наших векторов скорости и ускорения, как показано на рисунке:

 

Из уравнения (1.01 §1.4) следует, что скорость в произвольный момент времени определяется как

(2.01)

 Или в проекции на ось OX  - уравнение скорости принимает вид:

(2.02)

 

Уравнение (2.02) мы будем называть в дальнейшем уравнением скорости для равнопеременного прямолинейного движения .

Отметим важную особенность уравнения скорости, УРАВНЕНИЕ СКОРОСТИ ПРИМЕНЯЕТСЯ К УЧАСТКУ ДВИЖЕНИЯ. Это значит что все движение может быть разбито на участки, при этом для каждого участка будет своя начальная и конечные скорости, отсчет времени для каждого участка так же свой.

2°.01 Пример применения уравнения скорости
К концу первой секунды равнозамедленного движения модуль скорости тела равен 2 м/с, а к концу второй — 1 м/с. Определить модуль начальной скорости тела.
Покажем всю информацию на рисунке

Применим уравнение скорости к тому участку, о котором у нас субъективно больше всего информации, это вторая секунда. В общем виде уравнение будет выглядеть следующим образом

(01)

подставим числа в (01)

(02)

Найдем отсюда ax, ax= – 1 м/с2
Итак, мы знаем ускорение тела. Теперь пименим уравнение скорости к тому участку, где у нас есть искомый параметр, это может быть первая секунда или первые две секунды. Выберем второй вариант.

запишем уравнение скорости для первых двух секунд в общем виде

(03)

Обратите внимание на то, что изменилось в уравнении (по сравнению с (01)), – начальная скорость теперь V0x (была V1x), промежуток времени Δt12 , (был Δt1).

Подставим в уравнение (03) числа (в т.ч. ускорение, которое  мы уже нашли)

(04)

откуда V0x = 3 м/с2

  

3°. Уравнение перемещения для РППД

Второе важнейшее уравнение описывающее равнопеременное движение – это УРАВНЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Уравнение перемещения имеет вид:

(3.01)

где Vx0 – проекция скорости тела в начале участка, ax – проекция вектора ускорения, Δt – время в течении которого происходило движение на заданном участке.

уравнение перемещения так как и уравнение скорости ПРИМЕНЯЕТСЯ К УЧАСТКУ движения!

4°.01 Пример применения уравнения перемещения

При равноускоренно м движении тело проходит за первые 4 с путь, равный 24 м. Определить модуль начальной скорости тела, если за следующие 4 с тело проходит расстояние 64 м.
Покажем всю информацию на рисунке:

Применим уравнение перемещения к тому участку, о котором у нас субъективно больше всего информации, при этом постараемся "захватить" искомый параметр. Это первый участок.

В общем виде уравнение будет выглядеть следующим образом:

(01)

 подставим числа в (01)

(02)

Мы получили первое уравнение нашей системы. Посмотрим, какие параметры нам не известны, – это V0 и  ax . Сейчас рационально записать еще одно уравнение, которое содержало бы те же не известные переменные, что и уравнение (02) таким уравнением является уравнение перемещения для всего участка.

Запишем уравнение перемещения для всего участка в общем виде:

(03)

 подставим числа в (03)

(04)

Итак, имеем систему уравнений

(05)

 Решая которую получим что Vx0 = 1м/с2
  

3°. Уравнение координаты для равнопеременного прямолинейного движения

Опираясь на уравнение перемещения (3.01) и формулу проекции перемещения через координаты (2.01 §1.5), легко получит уравнение координаты для равнопеременного прямолинейного движения. Оно имеет вид:

(4.01)

  Анализ уравнения скорости, координаты и перемещения позволяет получить полную информацию о характеристиках движения и, в частности, о том как движется тело – ускорено или замедленно. Что бы это сделать необходимо использовать "правило знаков"

 

Движение ускоренное

направления вектора скорости и ускорения совпадают

знаки проекций векторов скорости Vx и ускорения ax одинаковы

Движение замедленное

направления вектора скорости и ускорения противоположны

знаки проекций векторов скорости Vx и ускорения ax противоположны

Сформулируем "правило знаков:
если знаки проекций векторов скорости и ускорения совпадают – тело движется ускоренно
если знаки проекций векторов скорости и ускорения противоположны – тело движется замедленно.

Пример №1

 

знаки проекций скорости и ускорения совпадают – движение ускоренное (модуль скорости возрастает)

Пример №2

 

знаки проекций скорости и ускорения противоположны – движение замедленное (модуль скорости уменьшается)

Уравнение “квадратов скоростей”

Если из уравнения (2.02) выразить V0x   и подставить его в уравнение (3.01) мы получим "уравнение квадратов скоростей".   

(4.02)

применение формулы (4.02) можно проиллюстрировать с помощью следующего рисунка

6°1. Определение свободного падения.
Свободным падением называется движение в близи поверхности Земли с нулевой начальной скоростью,  либо с начальной скоростью направленной вертикально.
Свободным падением такое движение будет только в том случае если сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Вертикальное движение под действием силы тяжести является частным случае равнопеременного прямолинейного движения.

6°2 Ускорение свободного падения.

При свободном падении известны направление и величина вектора ускорения, а именно модуль вектора равен 9,8 м/с2 , направлен вектор ускорения вертикально вниз. В силу важности этой величины у нее имеется собственное название – "ускорение свободного падения" и собственное обозначение –  g. Отметим так же что в абсолютном большинстве школьных задач, ускорение свободного падения округляется до целого т.е.

 

  

6°3.  Особенности свободного падения как равнопеременного движения.

 

  1. Свободное падение является частным случаем равнопеременного движения, соответственно описывается оно стандартным набором уравнений (2.02, 3.01, 4.01, 4.02).
  2. Скорость тела в верхней точке траектории равна нулю (точка остановки).
  3. Свободное падение обладает симметрией т.е. скорости на любом уровне одинаковы по модулю (при движении вверх и при движении вниз), время движения на симметричных участках (см рис. выше) одинаково.

7. Начальная и конечная скорости тела при свободном падении

Начальная и конечная скорости тела не равны нулю.
Например можно рассуждать следующим образом: в конце движения тело упало и лежит неподвижно, значит его конечная скорость равна нулю. Ошибка в данном рассуждении в том, что свободное падение подразумевает движение только под действием силы тяжести, а скорость тела в данном примере стала равна нулю в следствии взаимодействия с поверхностью земли что не соответствует нашему условию.
Таким образом рассматривая свободное падение мы рассматриваем движение за миг до прикосновения к земле и через мгновение от броска.

 

Равномерное движение по окружности

1°. Определение.

"Равномерным" движением материальной точки  по окружности называется такое движение, при котором МОДУЛЬ ее скорости не изменяется с течением времени. Так движется, например кончик секундной стрелки.

Отметим, что такое движение МТ является равномерным лишь условно, так как при таком движении (как и при любом криволинейном движении) ИЗМЕНЯЕТСЯ НАПРАВЛЕНИЕ вектора скорости, а значит изменяется и сам вектор скорости

2°. Период
Период – это время за которое совершается один полный оборот. Обозначается T. Единица измерения секунда,  [T] = с.

(1.01)

где N – число оборотов, t – время вращения

Периоды вращения некоторых тел являются общеизвестными и ни когда не будут указаны в явной форме в задаче. Это периоды вращения секундной, минутной , и часовой стрелок

а так же период вращения земли вокруг собственной оси (24 часа). Эти периоды нужно обязательно знать!

3°. Частота вращения
Частота вращения – количество оборотов за единицу времени. Обозначается . Единица измерения герц,   =[ Гц ]= с-1.  Частота вращения величина обратная периоду.
 

(1.02)

 Например,  если частота вращения тела равна 30 c-1 , это значит,  что за 1 секунду тело  совершает 30 оборотов.

4°. Линейная скорость вращения
Модуль скорости МТ определяется как
 

(1.03)

где S – путь пройденный телом, t – время за которое он был пройден

Во многих случаев удобно использовать промежуток времени равный периоду ( t = T) В этом случае путь S  будет равен длине окружности 

(1.04)

и формула (1.03) примет вид 

(1.05)

5°. Угловая скорость
Угловая скорость показывает как быстро поворачивается радиус вектор, задающий положение МТ, движущейся по окружности

Угловая скорость  обозначается ω . Единицы измерения ω = 1/с.
Для случая равномерного движения по окружности угловая скорость определяется как
 

(1.06)

 

где Δφ – угол поворота радиус-вектора, t – время за которое был совершен поворот

Если использовать промежуток времени соответствующий полному обороту, то, с учетом того, что полному обороту соответствует угол  , выражение (1.06) примет вид: 

(1.07)

6°. Важная особенность угловой скорости.

В более строгом смысле УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ является характеристикой вращения ТЕЛА, а не отдельной материальной точки.  При вращении тела все его точки совершают полный оборот за одно и то же время, соответственно угловая скорость одинакова для всех точек тела.

7°. Связь линейной и угловой скорости
Подставив (1.07) в (1.05) мы получим выражение связывающее линейную и угловую скорости.

(1.08)

Отметим важную особенность (1.08) – это соотношение "работает" для двух принципиально разных случаев
 

1.  Тело закреплено на неподвижной оси, тогда V – это скорость точки на окружности, относительно оси вращения.

 

2. Тело катится по поверхности, тогда V – это скорость движения центра тела относительно поверхности.

 

Подробнее о втором случае

 

Точка делает один оборот за время равное периоду, за это же время диск сместится на расстояние 2πR (представим, что на диск намотана нить, тогда повернувшись на один полный оборот размотается длина нити равная 2πR) , следовательно
 

а это есть не что иное как 

8°. Центростремительное ускорение.
При движении по окружности, тело обладает нормальным или как его еще называют "центростремительным" ускорением.

  • Направление.  Центростремительное ускорение, направлено к центру окружности, перпендикулярно касательной к окружности в данной точке.

 

  • Величина. Величина центростремительного ускорения определяется по формуле (1.09)

(1.09)

Подставив V из (1.08) получим 

(1.10)

 

выразив из (1.08) угловую скорость ω и подставив ее в (1.09) получим еще одно выражение для центростремительного ускорения. 

(1.11)