К_1.04_Виды движения

Скачать конспект ” Виды движения”

К_1.04_ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ

Содержание

§1. РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Конспект “Виды движения”.

1.1°. Уравнение равномерного прямолинейного движения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Равномерным прямолинейным  движением, называется такое движение при котором,  вектор мгновенной скорости точки V не меняется с течением времени (т.о. скорость не меняется ни по величине, ни по направлению).

Например поезд метро движущийся по прямолинейному участку пути, где-то посередине между станциями.    

Из §К_1.03 п3.4°. мы знаем, что мговенная скорость определяется по формуле 

 (1.01)

Однако, в случае прямолинейного равномерного движения мгновенная скорость и средняя скорость перемещения – это одно и то же (скорость ведь не меняется).  

(1.02)

откуда 

(1.03)

Выражение (1.03) является векторным, однако пускай это вас не пугает. Мы выберем ось OX, так что бы она была паралелльна направлению движения и спроецируем уравнение (1.03) на эту ось.

(1.04)

Проекция перемещения определяется как разность конечной и начальной координаты. 

(1.05)

Подставляя (1.05) в (1.04) получим уравнение координаты для равномерного движения.

(1.05)

Отметим что t – это момент времени отсчитанный от момента, которому соответствует X0. Если в задаче рассматриваются несколько последовательных участков, каждому участку будет соответствовать СВОЯ НАЧАЛЬНАЯ КООРДИНАТА !

1.2°. Задачи на встречи

Одно из главных примененй уравнения координаты – “задачи на встречи”

Задачи на встречи можно разделить на три группы:

1. Задачи, в которых требуется найти моменнт времени, когда тела втретятся (ситуация №1), при условии, что они начали двигаться одновременно.

2. Задачи, в которых встречи как таковой нет, но требуется найти момент времени, когда расстояние между телами станет равным заданному (ситуация №2) при условии, что тела начали движение одновременно.

3. Задачи, в которых рассматривается либо первая, либо вторая ситуация, НО тела начали двигаться НЕ ОДНОВРЕМЕННО (1п.5°. Поздний старт ).

Все эти задачи решаются с опорой на уравнение координаты.

Идея очень проста.

Задумаемся, что является КРИТЕРИЕМ ВСТРЕЧИ? Что отличает встречу от всех других ситуаций? В момент встречи КООРДИНАТЫ ОДИНАКОВЫ!

(1.06)

Если мы "распишем" координату 1-го тела через уравнение движения, и аналогично распишем координату 2-го тела, приравняв их, мы получим уравнение

 (1.07)

позволяющее найти момент встречи тел.

 

Вторая ситуация чуть сложнее, однако и для нее можно применить тот же подход.

Что является математическим критерием определенного расстояния между телами?

 (1.08)

Вероятно это выражение вида

(1.09)

Теперь поступаем точно так же как и в первом случае – распишем X1 и X2 и подставим в это уравнение

 

(1.10)

И, наконец третий случай, самый сложный.

Подход остается тем же – формулируем либо условие встречи (1.06), либо условие расстояния (1.09), и расписываем его через уравнение координаты. Однако сейчас этого мало, ведь у нас время первого тела не равно времени второго, следовательно нужно сформулировать еще одно соотношение, а именно связь первого и второго времени.

(1.11)

 

§1п. Примеры задач на применение уравнения координаты

1п.1°. Машина у дорожного знака

  

В начальный момент времени тело находилось на расстоянии S0 = 175 м от дорожного знака и двигалось вправо со скоростью. 25 м/с, чему будет равна координата тела через 15 секунд? За начало отсчета примите положение дорожного знака. Решите задачу через построение уравнения движения.

 

Решение

Решать эту задачу можно двумя способами.

Можно найти расстояние которое проедет автомобиль за 15 секунд и прибавить его к  S0

 

Второй способ – построить уравнение координаты, и подставив в него заданный момент времени – найти конечную координату.

Выберем второй вариант, так как нам необходимо решение, через построение уравнения движения (уравнение координаты это и есть уравнение движения).

Уравнение координаты ДЛЯ РАВНОМЕРНОГО  движения имеет вид:

Что из этого нам известно?

Известно начальное расстояние до дорожного знака S0. Так как по условию дорожный знак мы принимаем за начало отсчета, следовательно S0 это не что иное как начальная координата тела  X0 и она равна 175 м (или S0 ). Известен модуль скорости и то, как она направлена (по оси OX), значит известна и проекция вектора скорости на ось OX,  Vx = + 25м/с. Знак плюс здесь потому , что направление вектора совпадает с направлением оси. (плюс конечно можно было и не показывать, здесь это сделано в учебных целях)

При построении уравнения часто делается ошибка – в уравнение СРАЗУ подставляется конкретный момент времени. Этого делать не следует! В уравнении параметр t  должен остаться КАК ПЕРЕМЕННАЯ, эту переменную мы конкретизируем в самом конце.  

  
Итак запишем уравнение координаты

Вот теперь, подставив в него заданный момент времени, мы найдем координату в этот момент времени (в нашем случае это 15 с)
 

 

1п.2°. Уравнение координаты и перемещение тела
Уравнение координаты тела имеет вид

где A = – 45 м;  B = 12 м/с. За какое время тело совершит перемещение 96 м?

Решение
Осмыслим информацию, данную в условии задачи. Что такое эти А и B?
Если соотнести заданное уравнение с уравнение координаты для равномерного движения (метод трафарета)

то станет понятно  что A – это начальная координата тела, а B – это проекция скорости. В контексте задачи, начальная координата нам не интересна, а вот проекция скорости – интересна, и даже очень, ведь перемещение скорость и время связаны соотношением

откуда легко найти ВРЕМЯ перемещения

t =  8 с   

Не рациональный, но часто предлагаемый учениками способ решения.
Задачу можно решить несколько иначе, если за основу взять соотношение

Оно позволит нам найти конечную координату тела

Так как начальную координату и проекцию скорости мы знаем, подставив значение конечной координаты в уравнение мы получим
 

Откуда уже можно выразить время t = 8 c.  

1п.3°. Встреча легковой машины с грузовиком

Из города А в направлении города Б выехала легковая автомашина, одновременно из города Б в том же направлении выехал грузовик. На каком расстоянии (км) от города А встретятся автомобили, если известно, что скорость  легкового авто равно 140 км/ч, скорость грузового равна 80 км/ч, а расстояние между  городами равно 60 км. Считать что машины движутся прямолинейно и равномерно. 

Решение
Во-первых сделаем рисунок и покажем на нем всю известную информацию (город А – синий, город Б – зеленый)

Особое внимание направлениям скоростей ( они направлены в одну сторону или на встречу друг-другу ??? ) Здесь очень часто бывает ошибка.

Так как у нас в задаче говорится о встрече, нашим ключевым соотношением будет

 

Теперь "распишем" координату "легковушки" через уравнение движения и аналогично распишем координату грузовика и приравняем их

Решая это уравнение найдем t , – время через которое машины встретятся. Это 1 час. Дальше можно устно (только внимательно – расстояние от какого города просят найти). Нужно найти "На каком расстоянии (км) от города А "  , значит определяем какое расстояние успеет пройти "легковушка" за 1 час – это 140 км.
 

1п.4°. Время заданного расстояния
Из города А в направлении города Б выехала легковая автомашина, одновременно из города Б в том же направлении выехал грузовик. Известно, что скорость легкового авто равна 140 км/ч, скорость грузового равна 80 км/ч, а расстояние между городами 60 км. Найти через какое минимальное время (ч) расстояние между машинами будет 30 км. Считать что машины движутся прямолинейно и равномерно.

Решение.
Условие задачи нам скорее всего понятно, но в нем появился один новый важный элемент  на который обязательно необходимо обратить внимание. Это слово МИНИМАЛЬНОЕ. Зачем они нам в задаче уточняют что мы ищем МИНИМАЛЬНОЕ время, почему не попросили найти "просто" время?
Если представить как движутся машины – можно заметить, что расстояние 30 км между машинами будет ДВАЖДЫ! Первый раз когда легковая еще не догнала грузовик, и второй раз когда она его обогнала.
Теперь понятно зачем было слово "минимальное", – нам нужен первый из этих случаев.
Так же заметим, что когда легковушка еще не догнала грузовик, ее КООРДИНАТА МЕНЬШЕ следовательно условие расстояния между машинами будет выглядеть следующим образом

 

точно так же как в предыдущей задаче, распишем X1 и X2 и подставим в наше соотношение.

Решая которое, найдем время = 0,5 часа.

1п.5°. Поздний старт

На дороге установлены два дорожных знака – синий и зеленый, расстояние между ними 60 км. В начальный момент времени у зеленого знака находится грузовик, у синего – легковая машина. Грузовик начинает движение, в направлении от синего знака со скоростью 80 км/ч. Через час после начала движения грузовика, в направлении зеленого знака, начинает дигаться легковой автомобиль со скоростью 140 км/ч. Найти какое минимальное время (ч) потребуется легковой машине, что бы сократить расстояние между автомобилями до 30 км. Считать, что машины движутся прямолинейно и равномерно.

Решение

Решать задачу можно двумя способами.

Первый способ.

Во-первых сделайте рисунок, покажите начальные положения тел, покажите кто в каком направлении движется. Попробуйье самостоятельно, затем проверьте себя ЗДЕСЬ (у меня грузовик находится левее).

Теперь нужно построить уравнение движения грузовика, построить уравнение движения легковой машины. Воспользоваться условием заданного расстояния (1.09), подставить в него уравнения грузрвика и уравнение легковой. Получится что-то вроде (1.10), но с одним важным отличием: слева и справа будет разное время! Дествительно, ведь они начали двигаться не одновременно. Вот КАК ЭТО БУДЕТ ВЫГЛЯДЕТЬ (только вначале попробуте сами).

Т.е. имеем одно уравнение и две неизвестных переменных и , следовательно нужно еще одно уравнение. это уравнение – соотношение времен и . Так как легковая выехала на час ПОЗЖЕ, – в пути она была МЕНЬШЕ, значит время легковой будет на 1 час меньше , времени грузовика т.е.

Второй способ.

Идея в том, что бы свести новую ситуацию к старой (классический прием решения задач).

Как именно это сделать?

Переопределим начальное положение грузовика, теперь за начальную координату возьмем его положение в тот момент, когда начнет двигаться легковушка, т.е. через один час движения. Найдем новую начальную координату грузовика

т.е. новая начальная координата грузовика 140 киллометров.

Далее решаем так, как буд-то наши машины начали движение ОДНОВРЕМЕННО (пишем условие заданного расстояния (1.09))

найдем время, оно будет равно 1,83 ч. Обратите внимание мы нашли время движения ЛЕГКОВОЙ машины. Это и есть ответ на вопрос задачи.

§2. ПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.1°. Определение равнопеременного движения

РавноПеременным движением, называется такое движение при котором, вектор скорости за любые равные промежутки изменяется одинаково.

Например, всем хорошо известное, вертикальное движение под действием силы тяжести является равнопеременным движением, так как за одинаковые промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину, а именно  за каждую секунду скорость увеличивается (уменьшается) ≈ на 9,8 м/с

2.2°. Уравнение скорости для равнопеременного прямолинейного движения

Рассмотрим частный случай равнопеременного движения – прямолинейное равнопеременное движение.

Выберем ось OX вдоль наших векторов скорости и ускорения, как показано на рисунке:

 

Из уравнения (1.01 §1.4) следует, что скорость в произвольный момент времени определяется как

(2.01)

 Или в проекции на ось OX  - уравнение скорости принимает вид:

(2.02)

 

Уравнение (2.02) мы будем называть в дальнейшем уравнением скорости для равнопеременного прямолинейного движения .

Отметим важную особенность уравнения скорости, УРАВНЕНИЕ СКОРОСТИ ПРИМЕНЯЕТСЯ К УЧАСТКУ ДВИЖЕНИЯ. Это значит что все движение может быть разбито на участки, при этом для каждого участка будет своя начальная и конечные скорости, отсчет времени для каждого участка так же свой.

ПРИМЕР применения уравнения скорости

2.3°. Уравнение перемещения для РППД

Второе важнейшее уравнение описывающее равнопеременное движение – это УРАВНЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Уравнение перемещения имеет вид:

(3.01)

где Vx0 – проекция скорости тела в начале участка, ax – проекция вектора ускорения, Δt – время в течении которого происходило движение на заданном участке.

уравнение перемещения так как и уравнение скорости ПРИМЕНЯЕТСЯ К УЧАСТКУ движения!

ПРИМЕР применения уравнения пермещения

2.4°. Уравнение координаты для равнопеременного прямолинейного движения

Опираясь на уравнение перемещения (3.01) и формулу проекции перемещения через координаты (2.01 §1.5), легко получит уравнение координаты для равнопеременного прямолинейного движения. Оно имеет вид:

(4.01)

2.5°. Правило знаков

  Анализ уравнения скорости, координаты и перемещения позволяет получить полную информацию о характеристиках движения и, в частности, о том как движется тело – ускорено или замедленно. Что бы это сделать необходимо использовать "правило знаков"

 

Движение ускоренное

направления вектора скорости и ускорения совпадают

знаки проекций векторов скорости Vx и ускорения ax одинаковы

Движение замедленное

направления вектора скорости и ускорения противоположны

знаки проекций векторов скорости Vx и ускорения ax противоположны

Сформулируем "правило знаков:
если знаки проекций векторов скорости и ускорения совпадают – тело движется ускоренно
если знаки проекций векторов скорости и ускорения противоположны – тело движется замедленно.

Пример №1

 

знаки проекций скорости и ускорения совпадают – движение ускоренное (модуль скорости возрастает)

Пример №2

 

знаки проекций скорости и ускорения противоположны – движение замедленное (модуль скорости уменьшается)

2.6°.Уравнение “квадратов скоростей”

Если из уравнения (2.02) выразить V0x   и подставить его в уравнение (3.01) мы получим "уравнение квадратов скоростей".   

(4.02)

применение формулы (4.02) можно проиллюстрировать с помощью следующего рисунка

 ПРИМЕР применения уравнения квадратов скоростей

2.7.1°. Определение свободного падения.
Свободным падением называется движение в близи поверхности Земли с нулевой начальной скоростью,  либо с начальной скоростью направленной вертикально.
Свободным падением такое движение будет только в том случае если сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Вертикальное движение под действием силы тяжести является частным случае равнопеременного прямолинейного движения.

2.7.2° Ускорение свободного падения.

При свободном падении известны направление и величина вектора ускорения, а именно модуль вектора равен 9,8 м/с2 , направлен вектор ускорения вертикально вниз. В силу важности этой величины у нее имеется собственное название – "ускорение свободного падения" и собственное обозначение –  g. Отметим так же что в абсолютном большинстве школьных задач, ускорение свободного падения округляется до целого т.е.

 

  

2.7.3° Особенности свободного падения как равнопеременного движения.

 

  1. Свободное падение является частным случаем равнопеременного движения, соответственно описывается оно стандартным набором уравнений (2.02, 3.01, 4.01, 4.02).
  2. Скорость тела в верхней точке траектории равна нулю (точка остановки).
  3. Свободное падение обладает симметрией т.е. скорости на любом уровне одинаковы по модулю (при движении вверх и при движении вниз), время движения на симметричных участках (см рис. выше) одинаково.

7. Начальная и конечная скорости тела при свободном падении

Начальная и конечная скорости тела не равны нулю.
Например можно рассуждать следующим образом: в конце движения тело упало и лежит неподвижно, значит его конечная скорость равна нулю. Ошибка в данном рассуждении в том, что свободное падение подразумевает движение только под действием силы тяжести, а скорость тела в данном примере стала равна нулю в следствии взаимодействия с поверхностью земли что не соответствует нашему условию.
Таким образом рассматривая свободное падение мы рассматриваем движение за миг до прикосновения к земле и через мгновение от броска.

§3. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ

3.1°. Определение.

"Равномерным" движением материальной точки  по окружности называется такое движение, при котором МОДУЛЬ ее скорости не изменяется с течением времени. Так движется, например кончик секундной стрелки.

Отметим, что такое движение МТ является равномерным лишь условно, так как при таком движении (как и при любом криволинейном движении) ИЗМЕНЯЕТСЯ НАПРАВЛЕНИЕ вектора скорости, а значит изменяется и сам вектор скорости

3.2°. Период
Период – это время за которое совершается один полный оборот. Обозначается T. Единица измерения секунда,  [T] = с.

(1.01)

где N – число оборотов, t – время вращения

Периоды вращения некоторых тел являются общеизвестными и ни когда не будут указаны в явной форме в задаче. Это периоды вращения секундной, минутной , и часовой стрелок

а так же период вращения земли вокруг собственной оси (24 часа). Эти периоды нужно обязательно знать!

3.3°. Частота вращения
Частота вращения – количество оборотов за единицу времени. Обозначается . Единица измерения герц,   =[ Гц ]= с-1.  Частота вращения величина обратная периоду.
 

(1.02)

 Например,  если частота вращения тела равна 30 c-1 , это значит,  что за 1 секунду тело  совершает 30 оборотов.

3.4°. Линейная скорость вращения
Модуль скорости МТ определяется как
 

(1.03)

где S – путь пройденный телом, t – время за которое он был пройден

Во многих случаев удобно использовать промежуток времени равный периоду ( t = T) В этом случае путь S  будет равен длине окружности 

(1.04)

и формула (1.03) примет вид 

(1.05)

3.5°. Угловая скорость
Угловая скорость показывает как быстро поворачивается радиус вектор, задающий положение МТ, движущейся по окружности

Угловая скорость  обозначается ω . Единицы измерения ω = 1/с.
Для случая равномерного движения по окружности угловая скорость определяется как
 

(1.06)

 

где Δφ – угол поворота радиус-вектора, t – время за которое был совершен поворот

Если использовать промежуток времени соответствующий полному обороту, то, с учетом того, что полному обороту соответствует угол  , выражение (1.06) примет вид: 

(1.07)

Обратить вниманиеВажная особенность угловой скорости.

В строгом смысле УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ является характеристикой вращения ТЕЛА, а не отдельной материальной точки.  При вращении тела все его точки совершают полный оборот за одно и то же время, соответственно угловая скорость одинакова для всех точек тела.

3.6°. Связь линейной и угловой скорости
Подставив (1.07) в (1.05) мы получим выражение связывающее линейную и угловую скорости.

(1.08)

Отметим важную особенность (1.08) – это соотношение "работает" для двух принципиально разных случаев
 

1.  Тело закреплено на неподвижной оси, тогда V – это скорость точки на окружности, относительно оси вращения.

 

2. Тело катится по поверхности, тогда V – это скорость движения центра тела относительно поверхности.

 

Подробнее о втором случае

 

Точка делает один оборот за время равное периоду, за это же время диск сместится на расстояние 2πR (представим, что на диск намотана нить, тогда повернувшись на один полный оборот размотается длина нити равная 2πR) , следовательно  

а это есть не что иное как 

3.7°. Центростремительное ускорение.
При движении по окружности, тело обладает нормальным или как его еще называют "центростремительным" ускорением.

  • Направление.  Центростремительное ускорение, направлено к центру окружности, перпендикулярно касательной к окружности в данной точке.

 

  • Величина. Величина центростремительного ускорения определяется по формуле (1.09)

(1.09)

Подставив V из (1.08) получим 

(1.10)

 

выразив из (1.08) угловую скорость ω и подставив ее в (1.09) получим еще одно выражение для центростремительного ускорения. 

(1.11)

ЗДЕСЬ

Спасибо :))
--------{---(@