К_1.03_Характеристики движения

Скачать конспект “Характеристики движения”

Механическое движение

1°. Механическое движение

В механике изучается наиболее простая форма движения механическое движение.

Механическим движением называется изменение положения данного тела (или его частей) относительно других тел.

Иногда механическое движение легко наблюдать: электровоз движется относительно платформы и полотна железной дороги, теплоходы движутся, изменяя свое положение относительно берегов рек, морей и океанов. Некоторые механические движения непосредственно глазом наблюдать невозможно. Так, атомы и молекулы газов движутся относительно стенок сосуда и т. д. В реальности таких невидимых механических движений нас убеждают те физические явления, которые связаны с этими движениями

В ньютоновской механике рассматриваются механические движения тел, происходящие со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме

2°. Кинематика

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются механические движения тел во времени и не рассматриваются какие-либо воздействия на эти тела других тел или полей.

3°. Система отсчета
  • Для описания механического движения необходимо указать тело, относительно которого рассматривается движение.
    Пример: пассажир, сидящий в кресле самолета, и корпус самолета движутся относительно Земли, но неподвижны друг относительно друга. Тело, но отношению к которому рассматривается данное механическое движение, называется телом отсчета.

  • С телом отсчета связывается система координат. Простейшей системой координат является прямоугольная декартова система XYZ, изображенная на рис. 1.1.1. Совокупность тела отсчета и системы координат называют системой отсчета.

  • Механическое движение происходит во времени. Для того чтобы определить моменты времени, которым соответствуют различные положения движущегося тела (или материальной точки), система отсчета должна быть снабжена часами, отсчитывающими промежутки времени от произвольно выбираемого начального момента времени.

4°. Материальная точка

При решении некоторых задач механики можно не интересоваться формой и размерами тела. Материальной точкой (МТ) называется тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Пример: при рассмотрении годичного движения Земли вокруг Солнца земной шар может быть принят за материальную точку. В иных случаях (например, при анализе суточного движения Земли вокруг своей оси) размерами тела пренебречь нельзя. Тело, форма и размеры которого при наличии всевозможных внешних воздействий могут считаться неизменными, называется абсолютно твердым телом. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему жестко связанных материальных точек, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга.

5°.  Положение материальной точки в декартовой системе координат

Положение материальной точки М в декартовой системе координат Рис  определяется тремя координатами XYZ, (рис. 1.1.1). Иначе положение точки может быть задано радиус-вектором r, проведенным из начала отсчета координат О до точки М (рис. 1.1.1).

 

 

6° Задача кинематики. Уравнения движения. Начальные условия.

Задачей кинематики является определения положения и характеристик движения МТ в любой момент времени. Что бы ее выполнить необходимо знать уравнения движения материальной точки и  начальные условия  ее движения.

Движение материальной точки в кинематике описывается с помощью уравнений движения – математических функций, определяющих зависимость кинематических параметров от времени или друг от друга.

Чаще всего мы будем использовать следующие уравнения движения:

  • уравнение координаты
  • уравнение перемещения
  • уравнение скорости.

Например уравнение координаты для равнопеременного прямолинейного движения имеет вид.

 

 

Вид уравнений движения определяется характером движения – равномерное, равнопеременное, гармоническое движение и т.п. Однако что бы выполнить задачу кинематики недостаточно знать общий вид уравнений движения, ведь в каждом конкретном случае движение уникально и это необходимо учесть.

Эту часть задачи решают начальные условия. Начальные условия это начальные значения координат и начальные значения направления вектора скорости и его модуля. В уравнениях движения они представлены в виде коэффициентов (в примере выше показаны красным цветом).  Начальные условия могут весьма существенно влиять на то, как будет "выглядеть" конкретное движение. Так, например, если направить вектор скорости вертикально вверх  тело будет двигаться по прямой, но если при той же начальной скорости направить его под некоторым углом к горизонту – тело будет двигаться по параболе, хотя набор уравнений, описывающих движение в обоих случаях один и то тот же.  

  

Перемещение. Траекория. Путь.

1°. Перемещение

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.

Вектор перемещения обозначается Δr, измеряется в метрах.

Перемещение

Почему перемещение обознается как Δr или смысл значка Δ

Значек Δ очень часто используется в физике. Что он означает?
Значек Δ всегда обозначает ИЗМЕНЕНИЕ чего-либо, например если мы говорим о изменении координаты мы можем записать Xк – Xн , а можем записать ΔX что то же самое , но писанины меньше.

Теперь о том, почему перемещение это Δr.
Положение тела в кинематике часто задается не координатами XYZ, как мы привыкли в школе, a радиус вектором. Что такое радиус вектор? Это вектор идущий из начала координат в точку, где находится тело.
Например: положение точки А можно задать радиус вектором r1

Тогда перемещение точки в новое положение будет определяться вектором Δr, который , как видно из рисунка есть разность векторов r2 и r1, а знак Δ как раз и применяется для обозначения ИЗМЕНЕНИЯ чего-либо, в данном случае изменения радиус вектора.

2°. Траектория движения

Траектория движения  это линия по которой движется тело . В некоторых случаях траекторию можно непосредственно увидеть, например инверсионный след самолета, следы птиц на первом снегу, следы от шин при резком торможении и т.д. Упрощенно можно сказать, что траектория это след который оставляет после себя тело. Однако в большинстве случаев траектория – это ВООБРАЖАЕМАЯ линия, которая может быть задана некоторой математической функцией.

пример траектории

3°. Путь

Путь это ДЛИНА ТРАЕКТОРИИ. Путь обозначается S , измеряется так же как и перемещение в метрах, и, конечно является скалярной величиной

связь траектории пути и перемещения

4°. Единицы измерения.

Как перемещение, так и путь измеряются в метрах  [Δr] =м ;   [S] =м

5°. Аддитивность пути и перемещения.

Аддитивность – это свойство физической величины заключающееся в том, что общее значение величины равно сумме ее частей.

Путь и перемещение обладают свойством аддитивности. Пример: если за первый час пути тело прошло 10 км, а за второй 15 км, то общий путь равен 10 + 15 = 25 км. То же справедливо и для перемещения, только отдельные перемещения из которых слагается движение мы будем складывать не скалярно, а векторно.

Отметим, что далеко не все величины обладают свойством аддитивности. Например, скорость не обладает таким свойством, так если на первом участке скорость тела была 3 м/с , а на втором 2 м/с , мы не можем сказать, что сумма этих величин (5 м/с) обладает вообще каким-либо смыслом.

Скорость

1°. Физический смысл
Скорость показывает как БЫСТРО изменяется положение тела в пространстве с течением времени.
Средняя скорость характеризует движение в течение всего того промежутка времени Δt , для которого она определена.
Средняя скорость  НЕРАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ это скорость некоторого РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ, при котором за то же время будет пройдено то же расстояние.

Поясним на примере. Допустим первую половину пути скорость тела была 10 м/с , вторую половину – 15 м/с. Средняя скорость такого движения равна 12 м/с. Что означает это число? В данном случае 12 м/с это скорость такого равномерного движения, которое эквивалентно исходному неравномерному движению. т.е. двигаясь равномерно со скоростью 12 м/с тело за то же время, пройдет такое же расстояние, как если бы оно первую половину пути двигалось со скорость 10 м/с, а вторую со скоростью 15 м/с.

2°. Средняя скорость перемещения

Средней скоростью перемещения  за промежуток времени  называется физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки Δr к длительности промежутка времени Δt

 (2.1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения Δr

Поясним на примере.

Тело движется по траектории синего цвета и проходит путь из точки с координатами (1;1) в точку с координатами (5;4) за время 6 секунд. Требуется найти модуль средней скорости перемещения.

Что бы ответить на вопрос задачи необходимо найти модуль перемещения, которое совершило тело т.е. необходимо найти длину вектора перемещения, в данном случае с помощью теоремы Пифагора. Затем  поделив перемещение на время мы найдем среднюю скорость перемещения.

3°. Средняя скорость пути

Средней скоростью пути за промежуток времени t  называется физическая величина, равная отношению пути пройденного точкой S к длительности промежутка времени t, за который он был пройден.

(3.1)

Поясним на примере использованном выше.

Тело движется по траектории синего цвета и проходит путь из точки с координатами (1;1) в точку с координатами (5;4) за время 6 секунд. Требуется найти модуль средней скорости пути.
Что бы найти модуль средней скорости пути необходимо найти модуль пути, которое совершило тело т.е. необходимо найти длину линии синего цвета, в данном случае, например так

 Затем, поделив путь на время мы найдем среднюю скорость пути.

3°01. Средняя скорость для одинаковых промежутков времени.

Если тело проходит последовательные одинаковые по времени участки пути (t1 = t2 = t3 = t)  так что на первом участке его скорость V1, на втором V2, на третьем V3 то среднюю скорость пути для всего участка можно найти по формуле

(3.2)

т.е. средняя скорость в данном случае находится просто как среднее арифметическое, причем эта закономерность справедлива для любого количества участков.

Средняя скорость это среднее арифметическое скоростей только для случая, ЕСЛИ ВРЕМЯ ДВИЖЕНИЯ НА РАЗНЫХ УЧАСТКАХ ДВИЖЕНИЯ ОДИНАКОВО!

 

3°02. Средняя скорость для ДВУХ одинаковых участков пути.

Если тело проходит два последовательных одинаковых по длине  участка пути (S1 = S2  = S) , так что на первом участке его скорость V1, на втором V2, то среднюю скорость пути для всего участка можно найти по формуле

(3.3)

Важно отметить что (3.06) в такой форме справедлива только для двух участков, однако это соотношение можно распространить и на неограниченное количество участков, но при этом его форма существенно изменится и оно приобретет вид

(3.4)

 

4°. Мгновенная скорость

Мгновенной скоростью (скоростью в данный момент времени) называется физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость (п. 1°) при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt

 

(4.1)

Для тех, кто любит во всем разбираться, подробнее о формуле (4.1)

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории. Направление скорости называют направлением движения точки (рис. 1.1.7).

5°. Единицы измерения.

 [V] =м/с.

Ускорение

1°. Ускорение

Средним ускорением или просто ускорением называется физическая величина,  равная отношению изменения вектора скорости ΔV материальной точки к длительности промежутка времени Δt  в течение которого это изменение произошло:

(1.01)

Например

При движении по окружности направление вектора скорости изменяется и, как следствие, возникает хорошо всем известное центростремительное ускорение.

При перемещении точки из синего положения в желтое, скорость изменяется, так как меняется направление вектора скорости. На рисунке показано как мы находим разность векторов скоростей. Результатом этой разности будет вектор вектор ΔV (показан зеленым). Вектор ускорения будет направлен так же (это следует из (1.01)).   

 

2°. Физический смысл

 Ускорение показывает как быстро изменяется скорость с течением времени.

3°. Мгновенное ускорение

Если в формуле (1.01) Δt устремить к нулю мы получим формулу для мгновенного ускорения.

Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t называется физическая величина а, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение (п. 1°) при неограниченном уменьшении Δt

 

(3.01)

 

Формула (1.02) никогда не будет использоваться нами при решении задач, она как и формула мгновенной скорости в параграфе §1.3 имеет для нас концептуальное значение.

Мы будем пользоваться упрощенным, но вполне достаточным для нас вариантом этой формулы, а именно    

(3.02)

где Vк и Vн конечная и начальная скорости соответственно, Δt – время за которое произошло изменение скорости.

А точнее даже не ей (так она содержит вектора, которые мы очень не любим), а вариантом этой формулы в проекции на ось OX

 

(3.03)

4°. Единицы измерения.
[a] =м/с : с = м/с2
5°. Нормальное и тангенциальное ускорения

Ускорение показывает как быстро изменяется ВЕКТОР скорости V, а вектор это "направление + величина", соответственно изменятся он может двумя способами – за счет изменения модуля вектора, и за счет изменения направления.

Что бы количественно охарактеризовать каждый из этих способов изменения вводятся два вида ускорения:
тангенциальное ускорение – aτ и нормальное ускорение an

 

Тангенциальное ускорение

Нормальное ускорение

Что характеризует

характеризует ИЗМЕНЕНИЕ вектора скорости ПО МОДУЛЮ.

характеризует ИЗМЕНЕНИЕ  вектора скорости ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Как направлен

направлен вдоль касательной к траектории в данной точке

 направленная вдоль нормали к траектории в данной точке

Как определяется численно

 

Тангенциальное и нормальное ускорения в действительности, это составляющие ПОЛНОГО вектора ускорения связанные между собой соотношением

 

(5.01)

   

(5.02)

5°. Классификация видов движения
Опираясь на понятия нормального и тангенциального ускорений можно построить простую классификацию движений.