К_1.05 Использование графиков

Форма графика  говорит нам о виде движения – равномерное или равно-переменное.

"Чтение" любого кинематического графика необходимо начинать с поиска "особых точек". Такими точками являются точки пересечения с осями (в большинстве случаев), а так же точки перегибов и изломов.

Пересечение с вертикальной осью даст нам начальные значения параметров

Пересечение графика скорости с горизонтальной осью даст нам "точку остановки"

Перегибы и изломы так же позволяют определить где находится (на оси времени) точка остановки.

Мы много внимания уделяем точке остановки, так как это точка где происходит ИЗМЕНЕНИЕ характера движения.

Например, до точки остановки тело двигалось вверх, значит после точки остановки оно будет двигаться вниз, если до точки остановки тело двигалось замедленно, то после точки остановки тело будет двигаться ускоренно.

Правило ТРОЛЛЕЙБУСА заключается в следующем:

– если тело приближается к точке остановки – оно замедляется

– если тело удаляется от точки остановки – оно ускоряется.

Чтобы определить направление движения с помощью графика КООРДИНАТЫ необходимо отследить как изменяется координата с течением времени.     

посмотреть анимацию

Например , если с течением времени координата уменьшается (Δx<0) , то это означает, что тело движется в направлении противоположном OX

Чтобы определить направление движения с помощью графика СКОРОСТИ необходимо обратить внимание на то в какой полуплоскости находится график

Стрелки показывают куда смотреть

Чтобы определить направление движения с помощью графика КООРДИНАТЫ необходимо отследить как направлены ветви графика,

если вверх – ускорение положительно

если вниз, ускорение отрицательно

Что бы определить знак ускорения по графику СКОРОСТИ нужно вспомнить как определяется ускорение. А определяется оно следующим образом:

где Vx – конечная скорость, Vxo – начальная скорость тела

Следовательно, глядя на график скорости нам нужно отследить как ИЗМЕНЯЕТСЯ СКОРОСТЬ, а именно

если проекция скорости уменьшается – ускорение отрицательно.

если проекция скорости возрастает со временем – ускорение положительно.

На рисунке ниже ускорение отрицательно, так как V2x < V1x.

  где X_к – конечная координата X_н – начальная координата движения

При этом не имеет значение насколько сложен график, является ли движение, равномерным или равнопеременным, замедленным или ускоренным и т.д. Посмотреть пример (анимация)

• путь равен перемещению, только если направление движения не изменяется
• с течением времени путь только возрастает (путь это ДЛИНА траектории)

Соответственно, если дан график движения, состоящего из участков с различными направлениями, необходимо:

1. разделить все движение на участки с одинаковым направлением движения (однородные участки).
2. найти перемещение на каждом участке (по формуле 1.01).
3. просуммировать модули всех перемещений.

Пример

В примере путь на всем участке движения будет определятся как

Значение перемещения определяется как ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, одной из сторон которого является часть графика, одной стороной часть оси ОХ и двумя другими являются перпендикуляры опущенные из точек соответствующим заданным моментам времени. 

В данном случае, на промежутке Δt перемещение будет равно площади трапеции

Пример более сложного случая

Так же как и на графике координаты, разбиваем все движение на однородные участки (т.е. участки где движение однонаправленно).    

Каждому участку при этом будет соответствовать  своя площадь. Затем что бы найти путь сумируем все площади

Что бы найти значение проекции скорости. Необходимо показать на графике некоторый промежуток времени Δt и соответствующее ему перемещение, тогда проекцию скорости можно будет найти как

Отметим что это действие позволяет определить не только модуль проекции, но и ее знак, а значит и направление.

Отметим так же что отношение в формуле (3.01) не что иное как тангенс угла альфа.

Следовательно угол наклона графика координаты при равномерном движении характеризует величину скорости тела. Чем боьше угол наклона (по отношению к горизонтали), тем больше скорость тела.

В с соответствии проекция ускорения может быть найдена как

Поэтому что бы найти ускорение с помощью графика скорости, необходимо показать на графике промежуток времени Δt и соответствующее ему изменение  скорости ΔV. 

Их отношение и будет значением проекции вектора ускорения.

При нахождении изменения скорости принципиально ВАЖНО! отнимать от КОНЕЧНОГО значения НАЧАЛЬНОЕ, а не наоборот.

Из рисунка видно, что отношение a =  ΔV / Δt  это тангенс угла α.  Таким образом, математическое понятие тангенса имеет в данном случае физический смысл БЫСТРОТЫ ИЗМЕНЕИЯ скорости.

Если мы располагаем информацией о конкретных точках графика (знаем координаты точек), мы можем построить уравнение движения соответствующее данному графику.

Идея заключается в том что бы РАСПИСАТЬ эти точки с помощью искомого уравнения движения.

Проиллюстрируем на примере.

Пусть дан следующий график

Для которого известны две точки А(4;2) и В(7;6) , а так же известно начальное значение координаты X₀ = 0.

Подставим известные значения времени и координаты точки А в уравнение координаты и то же самое проделаем для точки В.

Получим следующую систему уравнений

Решая эту систему, найдем начальное значение проекции ускорения и скорости (a_x= -5/12 ,  V_x = 29/12).

Следовательно уравнение координаты для заданного движения будет иметь вид