К_4.01_Гидростатика

3°01. Примеры решения задач

3°01.01Задача №1

Задача

У основания здания давление водопроводной воды равно 500 кПа. Сила давления воды в отверстии крана на 3 этаже равна 17,5Н. Определите на какой высоте находится 3-й этаж, если площадь отверстия крана 0,5 см2.

Решение

Покажем на рисунке фиолетовым цветом сообщающиеся сосуды.

Давайте посмотрим какая у нас есть информация шаговой доступности.
Мы знаем давление жидкости у основания башни – на уровне A (оно равно 500 кПа) , следовательно можем найти всю высоту столба жидкости AE из соотношения

(3.01)

Так как плотность воды 1000кг/м^3, следовательно h_AE = 50 м
Далее, мы знаем что сила давления воды в отверстии крана на 3 этаже равна 17,5Н, а площадь отверстия крана 0,5 см2. Что нам это дает ? Можем найти давление воды в кране на 3-м этаже. по формуле (§4.01 п1°.01)

(3.02)

, оно будет равно 17,5 / 0,5 * 10-4 = 35*10^4 Па = 350 кПа

Так как давление однородной жидкости в сообщающихся сосудах на одном и том жк уровне одинаково, следовательно давление – давление на уровне Б (350 кПа), равно давлению на уровне С. А давление на уровне С обусловлено давлением столба жидкости высотой h_с , из соотношения (§4.01 п3°.04) найдем эту высоту (h_с) , она равна 35 м.
Из рисунка видно что

(3.03)

следовательно h_Б = 50-35 = 15 м
Ответ : высота третьего этажа – 15 метров.

3°01.02 Задача №2

Диаметр одного из сообщающихся сосудов, в который налита ртуть, в два раза больше диаметра другого. В узкий сосуд налили воду высотой h_в = 51 см. Насколько изменится уровень ртути в узком сосуде (в см) Δh? Плотность ртути ρ_рт = 13600 кг/м^3 плотность плотность воды ρ_в = 1000 кг/м^3

Решение

Покажем на рисунке верхний уровень однородности ртути а так же начальный уровень ртути.

покажем высоты столба ртути столба воды по отношению к в.у.о. h_рт и h_в

покажем на сколько изменились уровни ртути в широком и узком сосудах ΔH и Δh

Начнем с главного уравнения описывающего данную систему – условия равновесия жидкости. Для верхнего уровня однородности можем записать

(3.04)

так как оба сосуда открыты на жидкость в левом и правом сосудах будет действовать одно и то же атмосферное давление и, как видно из (3.04), оно сокращается и в дальнейшем не влияет на ответ задачи.

(3.05)

В соотношении (3.05) у нас все известно кроме h_рт, если нам удастся выразить это параметр через искомую величину Δh (изменение уровня ртути в узком сосуде), мы решим задачу.
Далее, в подобного рода задачах, а именно, задачах связанных с изменением уровня жидкости, часто "работает" условие не сжимаемости жидкости или иначе, закон сохранения объема жидкости. Так и в нашем случае общий объем ртути не изменяется, следовательно на сколько объем ртути уменьшился в правом сосуде ( ΔV₁₎ на столько же он увеличился в левом сосуде (ΔV₂) т.е.

(3.06)

учитывая, что объем цилиндра определяется как

(3.07)

Можем переписать соотношение (3.06) в виде

(3.08)

или после сокращений

(3.08)

Т.е. уменьшение высоты ртути в узком сосуде на Δh , приводит к увеличению высоты ртути ΔН в широком сосуде, но это изменение уровня ртути в широком сосуде в 4 раза меньше, чем в узком сосуде.
Далее, из рисунка видно что