Первый участок длиной 2000 м велосипедист проехал за 100 с, а второй длиной 850 м он проехал за 1,5 минуты. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути.
Решение
Во-первых, отметим что на м не указали в каких единицах измерения искать скорость, следовательно по умолчанию ищем в системе СИ т.е. в метрах в секунду. На втором участке время дано в минутах, переведем его в секунды, это 90 секунд.
Во-вторых, отметим что нам не указано какую среднюю скорость искать – скорость пути или перемещения, значит будим исходить из максимально простого и удобного варианта для нас – а именно, будем считать что велосипедист движется прямолинейно, а значит путь и перемещение совпадают и соответственно совпадают значения средней скорости пути и перемещения.
Средняя скорость пути для двух участков определяется как
Подставим наши значения и получим
На горизонтальном участке пути автомобиль ехал со скоростью 72 км/ч в течение 10 мин, а затем проехал подъем со скоростью 36 км/ч за 20 мин. Чему равна средняя скорость на всем пути?
Весь путь это
S1 и S2 нам не известны но их легко найти, ведь мы знаем скорость и время на каждом участке, следовательно
обратите ВНИМАНИЕ НА ИНДЕКСЫ, с их помощью мы показываем что к чему относится т.е. на первом участке умножаем на время первого участка и т.д.
Общее время найдем как
и здесь нам все известно.
Соберем все в общую формулу
Подставим числа, предварительно переведя все параметры в систему СИ (72км/ч = 20 м/с, 10 мин = 60 с, 36 км/ч = 10 м/с , 20 мин = 120 сек)
Первую половину пути по проселочной дороге автомобиль проехал со средней скоростью 54 км/ч, вторую половину пути он двигался по шоссе со скоростью 126 км/ч. Чему равна средняя скорость пути за все время?
Средняя скорость пути в соответствии с определением определяется как отношение общего пути к общему времени
Но у нас нас нет ни одного параметра из этой формулы! Как быть?
Воспользуемся классическим приемом решения задач – введем в решение неизвестный параметр, но будем его рассматривать как известный, в расчете на то, что в последствии он сократится.
Кратко идею можно переформулировать так: "все" выражаем через один параметр, выбирая его таким образом чтобы в итоге он сократился.
Вся проблема здесь – какой параметр выбрать? И какие у нас есть варианты? Вероятно, это либо время, либо путь. Про время мы ни чего не знаем, а вот про путь знаем, а именно то, что путь на первом участке равен пути на втором
Значит пусть путь и будет нашим параметром через который все будем выражать.
Запишем
тогда время на первом и втором участках можно выразить как
собирая все в одну формулу получим
Упростим. В числителе приведем подобные слагаемые, в знаменателе сложим дроби и вынесем за скобку параметр S. Уже видно – мы добились нужного результата – введенный неизвестный параметр сокращается!
Подставим численные значения.
Отметим важный элемент, который в дальнейшем используем не раз, и который существенно сэкономит нам время и уменьшит количество писанины.
В некоторых случаях переводить единицы измерения не целесообразно, так они "все равно сокращаются". Мы ведь помним, что с единицами измерения и приставками, их модифицирующими, можно обращаться как с обычными числами. соответственно, например, единицы измерения могут сокращаться. А что в нашем случае?
В числителе и в знаменателе – везде только скорость, логично, что если мы подставим скорость в км/ч , то и получим скорость в км/ч! Т.е. вместо того что бы переводить каждую скорость в м/с мы сначала все посчитаем в км/ч и только конечную скорость переведем в м/с.
Так и сделаем.
Или в метрах в секунду (помним что для того что бы перевести км/ч в м/с , км/ч нужно разделить на 3,6)
Еще один способ решения этой задачи.
Так как от расстояния ответ скорее всего не зависит, придадим расстоянию любое удобное значение, например будем считать путь на первом и втором участках равен 200 км тогда получим
Многим может весьма понравится эта идея, но должен предупредить – это "скользкая дорожка" т.к. очень легко выдать желаемое за действительное и придать не известному параметру конкретное значение, когда этого делать нельзя, а именно когда этот параметр не сокращается в процессе решения.
Во вторых, решение в общем виде более надежно в плане численных расчетов, так в нашем случае мы получили 75,614 , округляя в знаменателе до трех знаков после запятой, а должно быть 75,6. Если бы мы использовали стандартное округление до двух знаков или расчетов было бы больше – ошибка была бы еще больше.
ИТАК заменять неизвестный параметр произвольным числом иногда можно, но ТОЛЬКО если вы на 100% процентов уверены, что он должен сократиться в процессе решения. Округлять в расчетах, при этом нужно как минимум до трех знаков.
Но, в любом случае, такой способ не более чем КОСТЫЛЬ и не может считаться полноценным решением!
Если в задаче требуется найти среднюю скорость и известно что ПУТИ на первом и втором участках ОДИНАКОВЫ можно использовать готовую формулу нахождения средней скорости
Для случая трех участков в такой форме эта формула, увы не работает :( для произвольного количества участков она будет иметь вид
Предлагаю вывести ее самостоятельно.
Автомобиль проходит первую половину пути со скоростью V1, а оставшуюся часть пути – со скоростью V2 = 50 км/ч. Определить скорость в км/ч на первом участке, если средняя скорость на всем пути V = 37,5 км/ч.
Прочитав задачу у нас может сложится впечатление что нам нужна формула для нахождения скорости на первом участке (ведь спрашивается скорость на первом участке), но это не так нет и не может быть какой-то специальной формулы для первого участка – это и есть ложный вход, начинать надо с другого!
Начинать нужно с ОБЩЕЙ ФОРМУЛЫ для средней скорости
Это может показаться странным, ведь нам в ничего не известно!
Значит нужно сделать так, что бы в ней появились параметры данные в условии, а затем уже из этой формулы нужно будет выразить искомый параметр.
Для этого воспользуемся стандартным приемом с введением неизвестного параметра. Пусть это будет путь S , так как про путь нам хоть что-то известно (см. условие), тогда формула средней скорости приобретет вид
упростим ее
Теперь у нас есть выбор, либо дальше выражать в общем виде, либо подставить числа, и уже тогда выразить окончательный ответ. Вообще более правильным считается первый путь, но мы выберем второй способ так в этом случае в выкладках легче ориентироваться.
Окончательный ответ
Первую треть времени автомобиль проехал со скоростью V1 = 144 км/ч, а вторую треть времени он стоял на заправке, а оставшийся участок он ехал со средней скоростью V2 = 36 км/ч. Определить среднюю скорость V автомобиля на всем пути. Ответ записать в км/ч.
Что бы решить заду введем неизвестный параметр t – время движения на участке пути.
Тогда опираясь на общую формулу средней скорости
получим
Немного упростим
или
Подставив числа, получим что средняя скорость автомобиля равна 60 км/ч.
Обратим внимание на важный момент!. Если участки ОДИНАКОВЫ по ВРЕМЕНИ то среднюю скорость можно искать как среднее арифметическое скоростей отдельных участков.
Интересно что это свойство можно использовать несколько неожиданным способом, а именно если в задаче окажется что средняя скорость является средней арифметической скоростей отдельных участков, то на всех участках тело двигалось одно и то же время!
Тело двигалось последовательно на двух участках со скоростями 17 м/с и 23 м/с соответственно. Если длинна первого участка равна 340 метров, а средняя скорость на всем пути оказалась равной 20 м/с, то какое расстояние тело прошло за все время движения?
Следовательно время движения на каждом участке одно и то же. Его не сложно посчитать
Следовательно общее время 40 с , а так как средняя скорость равна 20 м/с значит общее расстояние пройденное телом равно
Вот так "на пальцах" мы решили задачу, благодаря тому, что обратили внимание на числовые соотношения, присутствующие в ней.
Первую половину пути танк ехал со скоростью n раз большей, чем на втором участке. Средняя скорость танка на всем пути оказалась равной 12 км/ч. Во сколько раз отличались скорости на участках движения, если его скорость на первом участке была равна 18 км/ч .
Подставим в нее известные значения скоростей
Найдем, что
а значит скорости на первом и втором участках отличаются в 2 раза.
Велосипедист двигался из точки A в точку B как показано на рисунке. На сколько отличаются средняя скорость пути и средняя скорость перемещения велосипедиста если до перекрестка велосипедист ехал со скоростью 12 м/с, а после перекрестка со скоростью 9 м/с., а времени движения на первом и втором участках совпадают?
Отталкиваться будем от ОБЩЕЙ ФОРМУЛЫ
С векторами в таком контексте мы не работаем, поэтому перепишем ее модулями
И опять знакомая ситуация в формуле нет параметров которые были бы известны. Значит надо что бы они там появились. У нас известно что ВРЕМЯ одинаково , значит его и возьмем как частично известный параметр
Что мы можем теперь найти (время "как бы известно") тогда легко определяются пути на первом и втором участках
Отметим их на рисунке
Что бы искать среднюю скорость перемещения нам необходимо знать общее перемещение, его мы так же можем легко найти
Оценим, верно ли мы движемся? Мы задействовали известные переменные из условия (V1 и V2) мы выразили параметр который входит в общую формулу Δr и используем параметр время который не известен но для него есть соотношение (t1 = t2) это все указывает на то, что мы движемся в верном направлении.
Соберем теперь все одну формулу
Упростив эту формулу, получим
Подстановка чисел дает значение средней скорости перемещения
Теперь как искать среднюю скорость пути. Здесь мы "срежем угол" , так как известно что ВРЕМЯ ОДИНАКОВО среднюю скорость пути можно искать как среднее арифметическое, значит
и окончательный ответ
