Задачи на два участка
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, СОДЕРЖАЩИХ ДВА И БОЛЕЕ УЧАСТКА.
| Ищем и максимально используем информацию ШАГОВОЙ ДОСТУПНОСТИ. |
| Правило первого уравнения Выбираем такой участок и такое уравнение для него, что бы по МАКСИМУ использовать информацию из условия задачи. Чаще всего это уравнение перемещения |
| Правило второго уравнения Второе уравнение записываем обязательно с опорой на первое, а именно стараемся записать второе уравнение так, что бы в нем - максимально использовалась информация из условия задачи, - и при этом ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ ТЕ ЖЕ САМЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ, которые мы ввели в первом уравнении, соответственно новых неизвестных параметров желательно избегать. |
| Правило трех участков. |
| Принцип обратимости. Равнозамедленное движение можно, развернуть вспять и рассматривать как равноускоренное (с тем же ускорением) в противоположном направлении. При этом все характеристики движения будут в точности совпадать с исходным движением. Правило рекомендуется использовать для случаев замедленного движения с остановкой. |
| Средняя скорость как среднее арифметическое. При равнопеременном движении среднюю скорость на заданном участке можно искать как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей этого участка.
|
За семь секунд равноускоренного движения модуль вектора скорости тела увеличился на 14 м/с. Насколько увеличился модуль вектора скорости тела за первые 2 с движения ?
В соответствии с правилом первого уравнения, подумаем для какого участка дано больше всего информации, для первого (первые две секунды) , для второго (следующие пять секунд), или же для всего (все 7-мь секунд) Оцениваем, конечно субъективно, этого вполне достаточно.
Больше всего информации у нас о всем участке так как известно изменение скорости на всем участке (ΔV03 = 14 м/с) и известно время этого участка (7 секунд).
Какое уравнение мы могли бы записать для этого участка так, что бы максимально задействовать информацию из условия?
Вероятно, это уравнение скорости (перемещение у нас в задаче не упоминается от слова "совсем", соответственно использовать уравнение перемещения было бы очень странно).
Запишем его
На первый взгляд, в этом уравнении нам почти ни чего не известно, но подумаем, всю ли информацию об этом участке мы использовали, конечно нет. По условию нам известно, что на этом участке скорость увеличилась на 14 м/с, а мы пока это ни как не учли.
Перепишем уравнение скорости так, что бы в нем появилось изменение скорости
Подставим числа
Мы видим, что уравнение скорости для всего участка позволяет найти ускорение.
Оно равно
Что бы ответить на вопрос задачи – провернем тот же трюк, что и со всем участком – запишем уравнение скорости для первых 2-х секунд и перепишем его таким образом что бы в нем появилось изменение скорости.
Перенесем начальную скорость влево – получим изменение
Подставим числа
Итак, изменение скорости за первые две секунды равно
Итак, ускорение равно 2 м/с^2
Далее, надо найти изменение скорости за первые две секунды. Если за одну секунду скорость меняется на 2 м/с, то за две секунды скорость измениться на 4 м/с. Вот и все.
В данном случае все решение построено на пропорциях, однако с пропорциями нужно быть осторожным, иначе можно легко выдать желаемое за действительное.
| Пропорции можно использовать только, если мы уверены на 100%, что между рассматриваемыми параметрами есть ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ. |
В нашем случае все в порядке, так как
К концу первой секунды равнозамедленного движения модуль скорости тела равен 2 м/с, а к концу второй — 1 м/с. Определить модуль начальной скорости тела.
Покажем нашу информацию на рисунке
Отметим на рисунке, где находится конец первой, и где конец второй секунды (ведь скорости нам даны именно в эти моменты времени), а так же отметим промежутки времени соответствующие первому и второму участку.
Дальше можно "на пальцах".
За вторую секунду (отметим, за одну секунду, просто вторую по счету) скорость уменьшилась на 1 м/с ( модуль разности скоростей), следовательно модуль ускорения равен 1 м/с^2
Просят найти скорость в начале первой секунды. Из рисунка видим что между V0 и V1 промежуток времени одна секунда, значит на этом участке изменение скорости будет равно 1 м/с (ведь ускорение у нас 1 м/с^2). Так как движение равнозамедленное, значит в начале участка скорость была больше на 1 м/с т.е. 3 м/с.
Итак ответ задачи – скорость в начале 1-й секунды = 3 м/с.
Тело двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло за 6 с расстояние 450 м. За какое время тело прошло последние 150 м пути?
| В этой задаче распространенная ошибка связана с неправильной интерпретацией 150 метров пути. По условию тело прошло ВСЕГО 450 метров, а 150 метров последний участок ВНУТРИ этих 450 метров! |
На рисунке показываем два участка и все характеристики участков в том числе, как всегда обращаем внимание на начальное состояние, в данном случае начальная скорость равна нулю.
Непосредственное решение начнем поиска информации шаговой доступности. Такая действительно есть.
Во-первых, мы можем легко найти длину первого участка. Действительно, весь участок у нас 450 м, длина второго участка 150 м, следовательно длинна первого участка 300 м.
Во вторых, мы знаем длину всего участка 450 м, мы знаем начальную скорость на этом участке, (равна нулю), мы так же знаем общее время движения на всем участке, (6 секунд). Применив к общему участку уравнение перемещения
мы видим, что в нем только один не известный параметр – ускорение, – эта информация относится к шаговой доступности и мы на верном пути. Запишем его числами
Откуда
Далее продолжаем работать с информацией шаговой доступности. Нет ли у нас какого-либо участка и уравнения для него, такого что бы в нем было только одно неизвестное (с учетом того, конечно, что ускорение мы уже знаем).
Откуда время на первом участке
Ну а дальше совсем просто (мы ведь не забыли еще, что спрашивается в условии – время последних 150 метров) мы знаем общее время – 6 секунд, мы нашли время первого участка – 4,89 секунд , значит последние 150 метров тело прошло за
Что хотелось бы отметить по этой задаче – ее решение характерно тем что мы все время шли по пути НАИМЕНЬШЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ т.е. не решали какие-то сложные системы с кучей неизвестных, а старались по максимуму использовать ту информацию что "под рукой".
Это важное наблюдение, так как существует масса задач, в которых эта стратегия отлично работает.
Реактивный самолет взлетая, набирает скорость в течение 10 с, При этом в последнюю секунду он проходит путь, равный 95 м. Определить ускорение самолета.
Обратите внимание на НАЧАЛЬНЫЕ условия, в данном случае на начальную скорость. В условии о ней не сказано ни слова, значит она нам не известна ?
Это не так, в данном случае мы можем опереться на контекст ситуации, а именно на то что нам сказано что это взлетающий реактивный самолет, а при взлете какая начальная скорость у самолетов ? конечно ноль.
Итак начальная скорость самолета равна нулю.
Далее нам нужно поработать с информацией шаговой доступности, Какая информация у нас тут "на поверхности"?
Информация о времени.
Так как нам известно общее время движения t12 = 10с и время движения на втором участке t2 = 1c (сказано что за последнюю секунду, значит за одну секунду, просто последнюю, он прошел 95 м) можем найти время движения на первом участке, оно равно 9 секунд.
Приступим к основной части – поиску уравнений.
В соответствии с правилом первого уравнения запишем уравнение для участка, о котором есть больше всего информации. В нашем случае это второй участок. И лучше всего его описывает уравнение перемещения ("цепляет" больше всего переменных из условия)
Уравнение перемещения записанное в числах для этого участка имеет вид
Убрав лишнюю информацию, приведем это уравнение к более красивому виду
Это первое уравнение нашей системы.
Теперь поищем втрое уравнение.
Согласно правилу второго уравнения, мы должны во первых, определится с тем какие неизвестные переменные мы ввели в первом уравнении – это V01 – скорость в начале второго участка и ускорение ax.
во-вторых, нам нужно рассмотреть такой участок и записать для него такое уравнение, что бы в него входили эти параметры (V01 и ax), при этом новых неизвестных переменных, желательно что бы в нем не было. Так же желательно по максимуму задействовать информацию из условия.
Этим требованиям отвечает первый участок и , соответственно, уравнение скорости для первого участка.
В числах оно имеет вид.
Это второе и последнее уравнение нашей системы.
Решая, которую найдем ответ задачи – ускорение самолета при взлете равно 10 м/с^2
При равноускоренном движении тело проходит за первые 4 с путь, равный 24 м. Определить модуль начальной скорости тела, если за следующие 4 с тело проходит расстояние 64 м.
Начнем с информации шаговой доступности.
Можно дополнить рисунок
В соответствии с правилом первого уравнения, нам следует записать уравнение для того участка, о котором больше всего информации, но в данном случае, субъективно, кажется что о всех участках примерно одинаковое количество информации. Как быть?
Тогда выберем участок, который содержит искомый параметр (начальную скорость) и такое уравнение, которое максимально использует доступную информацию. Заданным критериям отвечают два участка первый (24м) и весь участок (88м), выберем первый (это субъективно, можно было бы взять и весь участок) Описывать его будем с помощью уравнения перемещения (уравнение скорости использует меньше доступной информации).
Запишем его в числах
или после упрощения
Проанализируем его в соответствии с правилом второго уравнения.
В этом уравнении мы ввели следующие неизвестные параметры V0 и ax , следовательно теперь нам нужно найти такой участок и такое уравнение для него, которое бы не содержало новых переменных и по максимуму использовало доступную информацию.
На этом этапе ученики чаще всего предлагают записать уравнение перемещения для второго участка. Давайте сделаем это и посмотрим что у нас получится.
после упрощения
Что мы видим? Нам пришлось ввести новый неизвестный параметр V01 - начальная скорость на втором участке. Это фатально? Нет, но и не рационально, так как если мы пойдем этим путем, нам придется записать еще одно уравнение, такое что бы в нем был этот новый параметр (это, кстати, уравнение скорости для первого участка), и далее решать систему из трех уравнений.
Давайте решим задачу проще (без систем из трех уравнений). Ведь мы не зря работали с информацией шаговой доступности.
Итак, нам нужно уравнение, которое содержало бы только те неизвестные, что мы уже ввели (начальную скорость на первом участке и ускорение).
Таким уравнением является уравнение перемещения для всего участка. Оно имеет вид (сразу без лишней информации)
без лишней информации
В итоге имеем систему уравнений
Решая, которую найдем что V0 = 1 м/с и ax = 2,5 м/с^2
Шарик, брошенный вверх по наклонной плоскости, прошел последовательно два равных отрезка длиной 0,6м каждый и продолжал двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за 1 секунду, второй – за 2 секунды. Найти скорость шарика в конце первого отрезка.
Прежде чем приступить к решению задачи, обратим внимание несколько важных моментов
1. Начальная скорость шарика не равна нулю! Если бы начальная скорость была равна нулю, как бы он смог двигаться вверх по наклонной плоскости !? Если бы на шарик действовали какие-либо силы, толкающие его вверх, тогда его начальная скорость могла бы быть равна нулю, но в нашем случае таких сил нет : на шарик действует сила тяжести, которая тянет его вниз и реакция опоры, нейтральная по отношению к движению.
2. Конечная скорость так же не равна нулю! Сказано, что "прошел последовательно два равных отрезка … и ПРОДОЛЖАЛ ДВИГАТЬСЯ ДАЛЬШЕ"
3. Так же отметим, что движение замедленное (во-первых, шарик пустили катиться вверх по наклонной плоскости, во-вторых, одинаковые по расстоянию участки, шарик проходит с нарастанием времени)
Задачу можно решить двумя способами, покажем оба
Далее построим систему уравнений, позволяющую найти начальную скорость и ускорение. Зная начальную скорость, далее найдем V1 через уравнение скорости для первого участка.
Теперь, определившись с целями мы видим что задача очень похожа на предыдущую.
Что бы не вводить новых переменных и использовать старые неизвестные переменные, в качестве второго участка возьмем весь участок (3 секунды) и уравнение перемещения для него
получим систему уравнений
Решая которую найдем что V0 = 0,7 м/с и ax = 0,2 м/с^2 .
Начальная скорость 0,7 м/с , ускорение 0,2 м/с^2 и шарик замедляется, значит за одну секунду (время движения на первом участке) он "потеряет" 0,2 м/с и его скорость станет равной 0.5 м/с.
Ответ: V1 = 0,5 м/с
Так как, в данной задаче известно время и расстояние для каждого участка, мы можем легко найти среднюю скорость для каждого участка. Воспользуемся этим.
Для первого участка можем записать
максимально упростив, получим
для второго участка
для всего участка
Получили систему из трех уравнений
Решая которую, найдем V1 = 0,5 м/с
Поезд при подходе к платформе начинает тормозить и останавливается, пройдя путь 75 м. Определить модуль начальной скорости поезда, если за предпоследнюю секунду он прошел расстояние 2,25 м. Движение поезда равнозамедленное.
Обратим внимание на некоторые особенности предложенной ситуации.
1. В задаче говорится о ПРЕДПОСЛЕДНЕЙ СЕКУНДЕ ("за предпоследнюю секунду он прошел расстояние 2,25 м") , это значит эти 2,25 метра поезд прошел за ОДНУ секунду и еще одну секунду он двигался до полной остановки.
2. Вторая особенность в том что, поезд в конце движения ОСТАНОВИЛСЯ ("начинает тормозить и останавливается"), следовательно мы знаем конечную скорость поезда и она равна нулю.
Начнем анализ нашей задачи.
Что первое бросается в глаза? Пожалуй это то, что здесь весь путь состоит из трех элементарных участков (а не двух, как в предыдущих примерах). Пытаться выписывать все возможные уравнения для данного случая вдвойне бессмысленно, так как их здесь может быть очень много. Вероятно, нам надо вначале как-то упростить систему. Как именно будем ее упрощать? Ответ прост – нужно рассмотреть два смежных участка (смежных – значит касающихся друг-друга), о которых у нас больше всего информации, на время "забыв" о третьем участке. Т.е. фактически необходимо от задачи с тремя участками, перейти к задаче с двумя участками.
Какие участки мы выберем в нашем случае? Довольно часто ученики предлагают рассмотреть второй участок (известно время – 1 секунда и перемещение – 2,25м) и весь участок (известно перемещение – 75 и конечная скорость, равна нулю) – это не верный подход, так эти участки не смежные (не касаются друг друга) и, соответственно уравнения, построенные на этих участках, не будут "пересекаться", и не смогут нам дать решаемую систему уравнений.
Выбрать необходимо второй и третий участки. Действительно, о третьем участке у нас не мало информации – мы знаем время движения на этом участке – одна секунда, и мы знаем конечную скорость на этом участке.
Итак переходим к рассмотрению второго и третьего участков. Для удобства сделаем рисунок отдельно для второго и третьего участков.
Субъективно больше всего информации здесь о первом участке. Для него и запишем уравнение перемещения. В числах оно будет выглядеть так
Знак "минус" перед ускорением появился в этом уравнении так как проекция ускорения в данном случае отрицательна.
Анализируем полученное уравнение. В нем нам не известны начальная скорость V1 и ускорение. Следовательно, на следующем шаге нам нужно найти такой участок и такое уравнение что бы не вводить новые переменные.
В нашем случае это уравнение скорости для всего участка. Запишем его.
Итак мы имеем систему уравнений
Решая эту систему найдем
Скорость нам не очень интересна а вот ускорение – ключевой параметр.
Напомним "принцип обратимости" заключается в том что равнозамедленное движение можно, развернуть вспять и рассматривать как равноускоренное (с тем же ускорением) в противоположном направлении. При этом все характеристики движения будут в точности совпадать с исходным движением.
Для наглядности несколько видоизменим наш рисунок
Мы поменяли направления скоростей, обозначения скоростей, а так же для удобства изменили НАПРАВЛЕНИЕ ОСИ ОХ.
Что дает применение принципа обратимости?
В нашем случае он позволяет несколько упростить уравнения так как начальная скорость теперь равна нулю.
Начинаем поиск нужный уравнений как обычно, смотрим о каком участке больше всего информации.
Это второй участок (теперь это второй, раньше он был первым, а еще раньше, вторым). Запишем для него уравнения перемещения
Как видим, выглядит оно почти так же как и в прошлый раз, за одним важным исключением – перед ускорением теперь ПЛЮС!.
Теперь поищем втрое уравнение.
Какой участок взять так, что бы "зацепить" максимум доступной информации и при этом использовать старые неизвестные переменные и не вводить новых неизвестных.
Это уравнение скорости для первого участка.
В числах оно будет иметь вид
Как видим оно имеет предельно простой вид (V1 = a)
Имеем простейшую систему
решая, которую, найдем что ускорение равно 1,5 м/с^2
Вернемся с условию исходной задачи (т.е. к нашим трем участкам). Как проще всего найти начальную скорость, учитывая то, что нам теперь известно ускорение. Самый быстрый способ – приметь уравнение квадратов скоростей для всего участка (от момента соответствующего скорости и до остановки поезда)
Или в числах
откуда начальная скорость поезда
Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигалось равноускоренно и достигло, пройдя некоторое расстояние, скорости 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния?
Сделаем рисунок
Задача решается очень просто, если заметить одну важную особенность условия – в нем НЕТ УПОМИНАНИЯ ВРЕМЕНИ!
Это однозначно говорит нам о том что нужно использовать "уравнение квадратов скоростей"
К какому участку его применить? Можно ли сказать что о каком-то участке у нас здесь больше информации? Похоже что все участки приблизительно равноправны в этом плане.
Тогда просто начнем с первого участка.
Уравнение квадратов скоростей в числах для него будет иметь вид
В качестве второго уравнения можно взять ту же формулу в применении ко второму или ко всему участку. Выберем второй вариант.
Уравнение квадратов скоростей для всего участка в числах будет иметь вид (само собой, что мы уже учли что весь участок это 2s)
Имеем систему из двух уравнений
с тремя неизвестными.
В общем случае такая система не имеет единственного решения (число уравнений не равно числу неизвестных), однако в некоторых случаях такие системы имеют единственное решение, но только для одной неизвестной.
Наш случай как раз такой.
Если уравнения поделить друг на друга т.е. левую часть на левую часть, правую на правую, путь и ускорения сократятся и мы получим
Решая это уравнение найдем что
