Смысл загадочной формулы мгновенной скорости

Спидометр автомобиля показывает 60 км/ч. Что это значит? Ответ простой: если автомобиль будет ехать так в течение часа, то он проедет 60 км. Допустим, однако, что автомобиль вовсе не собирается ехать так целый час. Например, водитель разгоняет автомобиль с места, давит на газ, в какой-то момент бросает взгляд на спидометр и видит стрелку на отметке 60 км/ч. В следующий момент стрелка уползёт ещё выше. Как же понимать, что в данный момент времени скорость равна 60 км/ч?

Давайте выясним это на примере. Предположим, что путь s, пройденный автомобилем, зависит от времени t следующим образом (расстояния и время будем брать в метрах и секундах, соответственно):

s(t) = t²,

То есть, при t = 0 путь равен нулю, к моменту времени t = 1 пройденный путь равен s(1) = 1, к моменту времени t = 2 путь равен s(2) = 4, к моменту времени t = 3 путь равен s(3) = 9, и так далее. Видно, что идёт разгон, то есть автомобиль набирает скорость с течением времени. Действительно:

• за первую секунду пройдено расстояние 1;

• • за вторую секунду пройдено расстояние s(2) − s(1) = 3;

• • за третью секунду пройдено расстояние s(3) − s(2) = 5,

и далее по нарастающей. А теперь вопрос. Пусть, например, через три секунды после начала движения наш водитель взглянул на спидометр. Что покажет стрелка? Иными словами, какова мгновенная скорость автомобиля в момент времени t = 3 ? Просто поделить путь на время не получится: привычная формула v = s/t работает только для равномерного движения (то есть когда стрелка спидометра застыла в некотором фиксированном положении). Но именно эта формула лежит в основе способа, позволяющего найти мгновенную скорость. Идея способа такова. Метафорически выражаясь – “рассмотрим окрестности момента времени t = 3 под лупой”

Отсчитаем от нашего момента t = 3 небольшой промежуток времени Δt, найдём путь Δs, пройденный автомобилем за этот промежуток, и поделим Δs на Δt. Чем меньше будет Δt, тем точнее мы приблизимся к искомой величине мгновенной скорости. Давайте посмотрим, как эта идея реализуется. Возьмём для начала Δt = 1. Тогда

Δs = s(4) − s(3) = 42 − 32 = 7, и для скорости получаем: Δs / Δt = 7 / 1 = 7 (скорость, измеряется в м/с).

Будем уменьшать промежуток Δt. Берём Δt = 0,1:

Δs = s(3,1) − s(3) = 3,12 − 32 = 0,61, Δs / Δt = 0,61 / 0,1 = 6,1.

Теперь берём Δt = 0,01:

Δs = s(3,01) − s(3) = 3,012 − 32 = 0,0601, Δs / Δt = 0,0601 / 0,01 = 6,01.

Ну и возьмём ещё Δt = 0,001:

Δs = s(3,001) − s(3) = 3,0012 − 32 = 0,006001, Δs / Δt = 0,006001 / 0,001 = 6,001.

Глядя на вычисленные значения скорости, мы понимаем, что величина Δs/Δt приближается к числу 6. Это означает, что мгновенная скорость автомобиля в момент времени t = 3 составляет 6 м/с. Таким образом, при безграничном уменьшении Δt путь Δs так же стремится к нулю , но отношение Δs/Δt стремится к некоторому пределу v, который и называется мгновенной скоростью в данный момент времени t.