К_3.04_Закон сохранения энергии

1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.

Человек СТОИТ на неподвижной тележке (человек относительно тележки не движется)  и бросает ГОРИЗОНТАЛЬНО камень массой 8 кг со скоростью 5 м/с ОТНОСИТЕЛЬНО ТЕЛЕЖКИ (именно относительно тележки, относительно Земли скорость будет другая). Определить, какую работу совершает человек, если масса человека ВМЕСТЕ С ТЕЛЕЖКОЙ 160 кг (человека и тележку, скорее всего, будем рассматривать как единое целое).

2. Анализ вопроса задачи.

Задумаемся, а почему вообще уместен вопрос о работе человека? Т.е. в чем ЗКЛЮЧАЕТСЯ РАБОТА человека? Можно конечно ответить поверхностно – "в том, что он кинул камень" , но этот ответ не отражает физического понимания процессов, он просто констатирует то, что мы видим, и кстати, не полностью, т.к. если мы присмотреться повнимательнее, то заметим что,  двигаться будет не только камень, НО И ТЕЛЕЖКА, действительно ведь толкая камень, человек действует на него с некоторой силой, но по III закону Ньютона, камень будет действовать на человека в обратном направлении с такой же силой. В результате человек (вместе с тележкой) приобретет  некоторый импульс в направлении противоположном направлению движения камня.

Попробуем посмотреть на процессы с энергетической точки зрения, что происходит в системе с точки зрения энергии.

А сточки зрения энергии происходит ИЗМЕНЕНИЕ кинетической ЭНЕРГИИ камня и  кинетической ЭНЕРГИИ человека с тележкой.  

Теперь мы можем содержательно ответить на вопрос, поставленный  выше "В чем заключается работа человека", – работа человека заключается в СООБЩЕНИИ кинетической энергии КАМНЮ и ТЕЛЕЖКЕ.   

3. Структура решения задачи с точки зрения тем (т.е. какие темы "работают")

Итак, нам нужно найти кинетические энергии тележки и камня, опираясь на какие темы мы можем это сделать?

Что за процесс рассматривается  в задаче? Процесс БРОСКА камня, а на какой процесс из рассмотренных ранее похож этот процесс? Конечно, на ВЫСТРЕЛ! , который мы рассматривали с точки зрения закона сохранения импульса.

Далее, в задаче говорится об ОТНОСИТЕЛЬНОЙ скорости камня, относительно тележки, а нам для ЗСИ нужна скорость камня относительно земли, следовательно работает тема “Относительность механического движения”.

Ну и наконец, когда мы найдем скорости, а значит и кинетические энергии, как искать РАБОТУ совершенную человеком? Что у нас есть связывающее  работу и изменение кинетической энергии? Это ТЕОРЕМА О ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ.

Структура решения с точки зрения тем будет выглядеть так

4.1. Какие тела в ходят в нашу систему (какие есть внешние тела) и является ли система замкнутой?

Первое тело нашей системы – человека с тележкой  (т.е. объединяем человека с телегой), второе тело – камень. Внешние тела – Земля как планета (дает внешнюю силу mg) и поверхность (дает внешнюю силу N). В процессе броска, так как он происходит в горизонтальном направлении, внешние силы компенсируют друг-друга, значит система замкнута и можем использовать ЗСИ.

4.2. Сделаем рисунок, покажем состояния, для которых будем применять ЗСИ.

4.3. Запишем ЗСИ, сначала в векторной форме, затем спроецируем на ось OX.

(*)

Проанализируем получившееся уравнение. Нам известны в нем все массы, но не известны все скорости . Но про скорости все же кое что известно – камень летит со скоростью 5 м/с относительно тележки". Значит пора переходить к следующему этапу и увязать наши скорости, опираясь на тему “Относительность механического движения”.

Нам необходимо на этом этапе связать все скорости с помощью Закона сложения скоростей, а для этого нам нужно понимать где у нас относительная скорость , где абсолютная а где скорость ПСО.

5.1. Покажем тела, а так же кто, относительно кого движется, на диаграмме. Определимся, что выбрать в качестве ПСО, что в качестве НПСО, а что в качестве активного тела.

Рассматриваются три тела: человек с тележкой (Чел.-Т) , Камень, Земля.

Стрелки показывают на то тело, относительно которого движется другое тело, например камень движется относительно Земли, стрелка указывает на Землю,   камень движется относительно человека с тележкой, стрелка указывает на Чел.-Т и т.д.

Так же пользуемся правилом, что две стрелки указывают на НПСО, одна стрелка "входит", другая "выходит" для ПСО и две стрелки "выходят"  для тела.

5.2. Покажем на диаграмме скорости которые нам даны и, которые мы сами ввели

5.3. Определим где абсолютная, где относительная, где скорость ПСО

Опираемся на следующие определения

тело относительно ПСО – это относительная скорость

тело относительно НПСО – это абсолютная скорость

ПСО относительно НПСО – это относительная скорость

Покажем  диаграмме

5.4. Записываем закон сложения скоростей в векторной форме (теперь мы понимаем кого с кем нужно складывать)

В проекциях на ось OX

(**)

Собираем пазл – соединяем информацию из темы "закон сохранения импульса" и информацию из темы "относительность механического движения"

Подставим (**) в (*), вспомогательные индексы убираем

Отлично ! в этом уравнении нам не известна лишь скорость тележки относительно камня. Подставим числа и найдем ее.

– это скорость тележки относительно Земли

теперь найдем скорость камня относительно  Земли. Это можно сделать либо через (**), либо через (*). Выберем первый вариант.

Перепишем (**) без вспомогательных индексов и лишних знаков

Подставляя числа получим

Используем найденные скорости, что найти работу, опираемся на теорему о изменении кинетической энергии.

Теорема  о изменении кинетической энергии гласит – "изменение кинетической энергии системы тел (тела) равно работе той силы , которая осуществила это изменение "

в нашем случае

После подстановки  чисел

Приступим к построению математической модели задачи.

Рассмотрим НИЖНЕЕ положение шарика, при его движении ПО ОКРУЖНОСТИ с точки зрения ДИНАМИКИ. 

В этом положении у него есть ускорение, т..к. он движется по окружности, по условию в нижнем положении сила натяжения равна 2mg. 

Сделаем рисунок и покажем на нем все необходимые вектора (силы и ускорение).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось OY

Центростремительное ускорение и сила натяжения определяются как 

подставляя их во второй закон, найдем что 

 (*)

Итак, динамика и кинематика позволили нам выразить скорость шарика в нижнем положении, через длину нити R.

Применим закон сохранения энергии.

 Нулевой уровень выбираем в нижнем положении шарика, тогда в состоянии I есть только потенциальная энергия (mgh),  в конечном состоянии (II) – есть только кинетическая энергия (mv^2/2).

Закон сохранения энергии 

подставляя в это уравнение скорость в нижнем положении (*), (которую мы нашли в предыдущем пункте), найдем что 

По смыслу это значит, что для того что бы шарик оборвал нить в нжнем положении, нужно что бы он начал движение с высоты равной половине радиуса.

Остался последний этап – геометрия. 

Заметим, мы еще вообще ни как не упомянули самый главный параметр, параметр который спрашивается в задаче – УГОЛ ОТКЛОНЕНИЯ! нужно это исправить.

  Подумаем, как проще всего зацепить угол, учитывая контекст (мы уже знаем как связаны длинна нити R  и высота шарика h). Сделаем рисунок еще раз, но теперь так, что бы зацепить работающие параметры:

Нам нужен ЗЕЛЕНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК!

из рисунка видно что:

Окончательно 

Ответ: α = 60° 

1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.

1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.

1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.