1. Построение уравнения равномерного прямолинейного движения.
2. Извлечение информации из уравнения движения.
3. Решение задач "на встречи"
В начальный момент времени тело находилось на расстоянии S0 = 175 м от дорожного знака и двигалось вправо со скоростью. 25 м/с , чему будет равна координата тела через 15 секунд? За начало отсчета примите положение дорожного знака. Решите задачу через построение уравнения движения.
Решение
Решать эту задачу можно двумя способами.
Можно найти расстояние которое проедет автомобиль за 15 секунд и прибавить его к S0
Второй способ – построить уравнение координаты, и подставив в него заданный момент времени – найти конечную координату.
Выберем второй вариант, так как нам необходимо решение через построение уравнения движения (уравнение координаты это и есть уравнение движения).
Уравнение координаты ДЛЯ РАВНОМЕРНОГО движения имеет вид:
Что из этого нам известно?
Известно начальное расстояние до дорожного знака S0. Так как по условию дорожный знак мы принимаем за начало отсчета, следовательно S0 это не что иное как начальная координата тела X0 и она равна 175 м (или S0 ). Известен модуль скорости и то, как она направлена (по оси OX), значит известна и проекция вектора скорости на ось OX, Vx = + 25м/с. Знак плюс здесь потому , что направление вектора совпадает с направлением оси. (плюс конечно можно было и не показывать, здесь это сделано в учебных целях)
| При построении уравнения часто делается ошибка – в уравнение СРАЗУ подставляется конкретный момент времени. Этого делать не следует! В уравнении параметр t должен остаться КАК ПЕРЕМЕННАЯ, эту переменную мы конкретизируем в самом конце. |
Итак запишем уравнение координаты
Вот теперь, подставив в него заданный момент времени, мы найдем координату в этот момент времени (в нашем случае это 15 с)
где A = – 45 м; B = 12 м/с. За какое время тело совершит перемещение 96 м?
Если соотнести заданное уравнение с уравнение координаты для равномерного движения (метод трафарета)
то станет понятно что A – это начальная координата тела, а B – это проекция скорости. В контексте задачи, начальная координата нам не интересна, а вот проекция скорости – интересна, и даже очень, ведь перемещение скорость и время связаны соотношением
откуда легко найти ВРЕМЯ перемещения
t = 8 с
Оно позволит нам найти конечную координату тела
Так как начальную координату и проекцию скорости мы знаем, подставив значение конечной координаты в уравнение мы получим
Откуда уже можно выразить время t = 8 c.
1. задачи в которых происходит встреча (ситуация №1), т.е. расстояние между телами РАВНО НУЛЮ.
2. задачи в которых рассматривается ситуация, когда расстояние между телами НЕ РАВНО НУЛЮ (ситуация №2) например тела движутся в противоположных направлениях из одной точки и требуется найти момент времени когда расстояние между телами будет равно заданному значению.
3. задачи в которых тела начали двигаться НЕ ОДНОВРЕМЕННО а далее рассматривается либо первая, либо вторая ситуация (предыдущие случаи подразумевали одновременный старт).
Все эти задачи замечательно решаются с опорой на уравнение движения.
Идея очень проста.
Задумаемся что является КРИТЕРИЕМ ВСТРЕЧИ? Что отличает встречу от всех других ситуаций? В момент встречи КООРДИНАТЫ ОДИНАКОВЫ!
Если мы "распишем" координату 1-го тела через уравнение движения и аналогично распишем координату 2-го тела, приравняв их мы получим уравнение
позволяющее найти момент встречи тел.
Вторая ситуация чуть сложнее, однако и для нее можно применить тот же подход.
Что является математическим критерием определенного расстояния между телами?
Вероятно это выражение вида
Теперь поступаем точно так же как и в первом случае – распишем X1 и X2 и подставим в это уравнение
И, наконец третий случай, самый сложный.
Подход остается тем же – формулируем либо условие встречи, либо условие расстояния, и расписываем через уравнение координаты. Однако сейчас этого мало, ведь у нас время первого тела не равно времени второго, следовательно нужно сформулировать еще одно соотношение, а именно связь первого и второго времени.
| Кода будете формулировать математическую связь t1 и t2 – будьте предельно внимательны, так как очень легко перепутать кого и что отнимать, обязательно проверьте получившееся соотношение с точки зрения смысла. |
Из города А в направлении города Б выехала легковая автомашина, одновременно из города Б в том же направлении выехал грузовик. На каком расстоянии (км) от города А встретятся автомобили, если известно, что скорость легкового авто равно 140 км/ч, скорость грузового равна 80 км/ч, а расстояние между городами равно 60 км. Считать что машины движутся прямолинейно и равномерно.
| Особое внимание направлениям скоростей ( они направлены в одну сторону или на встречу друг-другу ??? ) Здесь очень часто бывает ошибка. |
Так как у нас в задаче говорится о встрече, нашим ключевым соотношением будет
Теперь "распишем" координату "легковушки" через уравнение движения и аналогично распишем координату грузовика и приравняем их
Решая это уравнение найдем t , – время через которое машины встретятся. Это 1 час. Дальше можно устно (только внимательно – расстояние от какого города просят найти). Нужно найти "На каком расстоянии (км) от города А " , значит определяем какое расстояние успеет пройти "легковушка" за 1 час – это 140 км.
Если представить визуальную картинку как движутся машины – можно заметить что расстояние 30 км между машинами будет ДВАЖДЫ! Первый раз когда легковая еще не догнала грузовик, и второй раз когда она его обогнала.
Теперь понятно зачем было слово "минимальное", – нам нужен первый из этих случаев.
Так же заметим что когда легковушка еще не догнала грузовик ее КООРДИНАТА МЕНЬШЕ следовательно условие расстояния между машинами будет выглядеть следующим образом
точно так же как в предыдущей задаче, распишем X1 и X2 и подставим в наше соотношение.
Решая которое, найдем время = 0,5 часа.
Второй способ, на мой взгляд проще.
Идея в том что бы свести новую ситуацию к старой (классический прием решения задач).
Как именно это сделать?
Переопределим начальное положение грузовика, теперь за начальную координату возьмем его положение в тот момент, когда начнет двигаться легковушка, т.е. через один час движения. Новая начальная координата грузовика
Далее решаем так же как в первой задаче про встречи
найдем время , оно будет равно 2,33 ч.
Но что за время мы нашли? Это время легковой машины (подумайте сами , почему). За это время легковушка уедет на расстояние 326,67 км от города А, что и является ответом задачи.
