ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ТЕМЫ ЗАДАЧ
Решение любой задачи предполагает прохождение ряда этапов.
И первый из них – это этап ОРИЕНТИРОВКИ в ситуации задачи.
На этом этапе необходимо по возможности максимально подробно представить что происходит в задаче, необходимо что бы у вас в голове "нарисовалась картинка" того что происходит , затем нужно подумать в рамках какой темы мы будем описывать ситуацию, далее какие закономерности или свойства процесса мы наблюдаем и наконец, какими уравнениями мы будем пользоваться в контексте этих закономерностей и свойств.
В нашем случае этот этап будет выглядеть как-то так
Кода мы решаем конкретную задачу этот этап довольно часто бывает "свернут" т.к. эта информация как бы "очевидна", однако это не означает что ориентировку в задаче можно пропустить.
Темы задач.
1. Построение и использование уравнения скорости
2. Построение и использование уравнения координаты
3. Задачи "с одним участком".
4. Задачи "с двумя и более участками".
Материальная точка движется по прямой, совпадающей с осью X. Проекция вектора начальной скорости точки на ось Х равна Vx = 13 м/с , ускорение Аx = – 8м/с^2. Определить проекцию вектора скорости через 10с.
Уравнение скорости для РППД имеет вид
Подставим наши значения (t пока не подставляем, оставим его как параметр уравнения)
Теперь можем найти проекцию скорости в произвольный момент времени в том числе и через 10 секунд после начала движения
Известно что проекция скорости тела меняется по закону:
Определите:
– Чему равна проекция начальной скорости тела?
– Чему равна проекция ускорения?
– Каков характер движения тела (ускоренное или замедленное)?
Теперь понятно, что начальная скорость V0x = – 3 м/с (минус означает, что вектор скорости направлен против оси ОХ) , ускорение аx = – 2 м/с^2 (минус означает, что вектор скорости направлен против оси ОХ).
Что бы определить характер движения необходимо воспользоваться критерием "ускоренности / замедленности движения" – движение тела ускоренное , если направление векторов скорости и ускорения совпадают и замедленное , если противоположны.
В нашем случае оба вектора "смотрят" против оси OX, следовательно движение ускоренное.
| Типичная ошибка при определении характера движения – это вывод о том что, если "ускорение отрицательно" , то движение замедленное. Это не верно, сам по себе знак ускорения не определяет характер движения, важно лишь , то как он соотносится с начальной скоростью. |
К концу первой секунды равнозамедленного движения модуль скорости тела равен 2 м/с, а к концу второй — 1 м/с. Определить модуль начальной скорости тела.
| Уравнение скорости применяется к УЧАСТКУ ДВИЖЕНИЯ. |
 | При решении задачи В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ ПРИМЕНЯЕТСЯ ИНФОРМАЦИЯ ШАГОВОЙ ДОСТУПНОСТИ.
|
При решении любой физической задачи очень важно "правильно начать" т.к. начало решения задает общее направление решения.
Существенную помощь в определении того "с чего начать" может оказать правило первоочередного использования информации шаговой доступности. Говоря простым языком – начинать решение нужно с самых простых и информативных соотношений, т.е. таких, для которых "почти все известно".
Применение этого правила мы проиллюстрируем на данной задаче.
Покажем всю информацию на рисунке
А теперь задумаемся, нет ли такого участка, к которому можно было бы применить уравнение скорости и у нас осталась бы в нем только одна не известная ?
Конечно есть – это вторая секунда, (Кстати стоит заметить, что об этом участке у нас субъективно больше всего информации)
Применим уравнение скорости к этому участку. Учтем, что момент времени в уравнении скорости отсчитывается от того момента, который мы принимаем за начальный, в данном случае это начало перовой секунды.
| (01) |
подставим числа в (01)
| (02) |
Найдем отсюда
Далее самостоятельно или смотрите решение под катом
По условию нам нужно найти начальную скорость тела, следовательно теперь нам нужно уравнение, которое содержало бы начальную скорость.
Начальная скорость относится как к первому участку (первая секунда), так ко всему участку в целом (первые две секунды), соответственно можем применить уравнение скорости как к первой секунде, так и ко всему участку.
Выберем второй вариант (это субъективно, первый вариант ни чуть не хуже)
| (03) |
Подставим в уравнение (03) числа (в т.ч. ускорение, которое мы уже нашли)
| (04) |
откуда
Материальная точка движется вдоль оси Х по закону
где X – координата тела в метрах, t – время в секундах.
Определите:
– модуль начальной скорости точки.
– ускорение
Что бы правильно применить метод трафарета ПРИВЕДЕМ ЗАДАННОЕ УРАВНЕНИЕ К СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ (обратите внимание, что изменилось)
Оно примет вид :
Вот теперь можем его правильно соотнести с базовым
Откуда следует, что начальная координата X0 = 5 м, начальная скорость V0x = 3 м/с , и проекция ускорения ax = 4 м/с^2
| Обратите внимание коэффициент при t^2 это не ax, это ax/2 ! |
Материальная точка движется по прямой, совпадающей с осью X. Проекция вектора скорости точки на ось Х меняется по закону
где t — время в секундах, если начальная координата точки равна нулю X0 = 0
Найдите
– проекцию начальной скорости точки на ось OX.
– проекцию ускорения точки на ось OX.
– координату тела в момент времени 2с.
V0x = – 8 м/с
ax = +3 м/с^2
| Обратите внимание, коэффициент при t это не ax/2 а просто ax, т.е. в уравнении скорости коэффициент делить пополам не нужно! |
Теперь как найти координату через 2 с.
Подумаем, что у нас есть что бы искать координату, причем такое, что бы "цепляло" информацию, которой мы уже располагаем (X0 = 0 ; V0x = – 8 м/с ; ax = +3 м/с^2 ) ?
Подставим в уравнение наши данные (параметр время пока не трогаем)
Теперь мы можем найти координату в произвольный момент времени, в том числе и через 2 секунды после начала движения, это X(2) = -10 м.
Проекция скорости тела на ось Х при движении вдоль оси Х меняется по закону
где t — время в секундах. Начиная с какого момента времени, движение тела становится равноускоренным?
Зададимся вопросом, а какие у нас критерии ускоренности или замедленности, и вообще, какое движение считается ускоренным, а какое замедленным?
Ответ очевиден – движение ускоренное, если модуль скорости увеличивается, и замедленное, если модуль скорости уменьшается. И как же нам отследить когда скорость увеличивается, а когда уменьшается?
Наглядным процесс изменения скорости делает график, значит попробуем нарисовать график скорости.
Он будет выглядеть следующим образом:
Из графика скорости хорошо видно, что модуль скорости уменьшается, пока не станет равным нулю, следовательно движение становится равноускоренным, начиная с момента остановки тела.
Подставив в уравнение скорости V = 0 найдем,
что время остановки 2 секунды.
Тело соскальзывает по наклонной плоскости, проходя за 13 с путь 5 м. Начальная скорость тела равна нулю. Считая движение равноускоренным, определить модуль ускорения.
Во первых, отметим что требуется найти путь, а не перемещение (у нас есть формулы только для перемещения). Но так как в данном случае путь и перемещение одинаковы (прямолинейное ускоренное движение) можно смело использовать формулы для перемещения.
Далее обратим внимание на НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ , в условии текстом сказано что начальная скорость равна нулю (многие выискивают в тексте условия только числовую информацию, а это не правильно)
Итак, какая формула из нашего списка для РППД лучше всего "цепляет" начальную скорость, время, перемещение и ускорение ?
Подставив в нее наши значения, получим:
Откуда
Машина движется по прямой, совпадающей с осью X. Проекция вектора скорости точки на ось Х меняется по закону
где t — время в секундах.
Определить модуль перемещения машины за время от t1 = 1 с до t 2= 3 с.
| Уравнение перемещения применяется к УЧАСТКУ ДВИЖЕНИЯ. |
проекция начальной скорости V0x = + 14 м/с, проекция ускорения ax = -3 м/с^2 , так как знаки скорости и ускорения противоположны, движение замедленное (длина вектора скорости уменьшается).
Нас просят найти модуль перемещения, следовательно логичным будет попробовать применить уравнение перемещения для РППД
общий вид которого следующий
14 м/с это скорость машины в момент времени t = 0 с , а наш участок начинается с момента времени t1 = 1 с !
Здесь мы видим важную особенность применения уравнения перемещения,
| уравнения перемещения всегда применяется к конкретному участку, и соответственно, для каждого участка начальная скорость будет своя! |
Итак, нам нужна скорость в момент времени 1 с. Как ее найти?
Скорость V1 – является конечной для первого участка (движение на первой секунде, показан синим) ,
ее можно найти, если применить уравнение скорости к первому участку.
Сделаем это.
Уравнение скорости имеет вид
Или, с учетом наших значений
т.е.
Вот теперь у нас есть все необходимое для применения уравнения перемещения ко второму участку.
Откуда найдем что
Перемещение за три секунды можно найти как
Перемещение за первую секунду
При этом мы учли что начальная скорость для обоих участков это 14 м/с.
Разность перемещений дает правильный ответ
Перемещение и путь пройденный телом удобно искать с помощью графика скорости.
Нарисуем график скорости для нашего движения и покажем на нем все актуальные параметры (при этом что бы построить график "по двум точкам" нам придется найти момент времени, когда скорость тела станет равной нулю, это 4,67 секунд).
Перемещение на графике скорости это площадь по графиком
Площадь трапеции это "полусумма оснований на высоту" т.е. нам надо найти значения высот (показаны синим и желтым), это в свою очередь значения скоростей в момент времени t1 = 1 с и момент времени t2 = 3 c. Найдем их значения с помощью уравнения скорости.
и
формула перемещения через площадь имеет вид
С учетом наших значений
Скорость автомобиля, движущегося равноускоренно с ускорением 2 м/с2, возросла с 10 м/с до 14м/с. Определить путь, пройденный автомобилем за время указанного изменения скорости.
А нет в ней упоминания времени. Это важное наблюдение, так как опираясь на него мы можем сразу догадаться какая формула нам требуется для ответа на вопрос задачи. Это УРАВНЕНИЕ КВАДРАТОВ СКОРОСТЕЙ,
Эта формула очень часто применяется, когда "ничего не говорится о времени", а это как раз наш случай.
| Обратите внимание, с помощью этой формулы мы вычисляем проекцию перемещения, а у нас, по условию, требуется найти ПУТЬ! Но так как у нас движение прямолинейное (по умолчанию) и ускоренное, а не замедленное (модуль скорости возрастает), то путь и перемещение совпадают, и мы можем смело использовать формулу "квадратов скоростей". |
Подставив численные значения, получим
Поезд, двигаясь под уклон*, прошел за 20 с путь 340 м и развил скорость 19 м/с. Определите какой была скорость в начале уклона?
—————-
* Двигаясь под уклон это значит с горки.
Сделаем рисунок и покажем на нем всю доступную нам информацию (пусть вас не смущает, что в задаче говорится про уклон, а у нас его нет. У нас в любом случае прямолинейное ускоренное движение, и если мы сделаем рисунок с уклоном это не давит рисунку ни какой полезной информации)
Теперь начнем подбирать формулы для решения задачи.
| Когда у нас в задаче требуют найти какой-либо параметр – это не значит, что мы должны искать формулу которая определяет этот параметр (не специальной формулы для начальной скорости), мы должны подобрать формулу, которая СОДЕРЖИТ искомый параметр и, по возможности включает в себя максимальное количество параметров из условия. |
Итак, нам нужна формула которая включала бы в себя начальную скорость, время , перемещение и конечную скорость. Такой формулы что б включала в себя все эти параметры нет, но есть формула перемещения, которая включает почти весь список, за исключением конечной скорости.
Что бы нам было легче ориентироваться подставим в нее имеющиеся численные значения. Получим
Проанализируем полученную формулу, насколько она "хороша" для нашего решения.
Она включает в себя практически всю информацию из условия, в том числе искомый параметр (начальную скорость) – и это хорошо.
Но в ней ДВЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ переменные, и ЭТО НОРМАЛЬНО, это абсолютно типичная ситуация. Это просто означает, что нам нужно еще одно уравнение, которое содержало бы ТЕ ЖЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ!
Итак нам нужно уравнение, которое содержало бы начальную скорость, ускорение и еще что нибудь из условия.
И это конечно уравнение скорости
Подставим численные значения
Мы получили систему из двух уравнений с, с двумя неизвестными
Решая , которую мы найдем что
