К_2.05 Сила тяготения.

Содержание

§1. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ. СПУТНИКИ ПЛАНЕТЫ.

1.1°. Закон всемирного тяготения
1.2°. Условия применимости
1.3°. Сила тяжести. Ускорение свободного падения.
1.4°. Спутник планеты.
1.5°. Скорость спутника планеты
1.6°. Первая космическая скорость

§2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ

2.1°. Процент марсианского ускорения от земного.
2.2°. Ускорение свободного падения, масса и плотность планеты.
2.3°. Два спутника
2.4°. Ускорение свободного падения и спутник планеты.
2.5°. Период вращения спутника и плотность планеты

К_2.06_ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИСТЕМЫ ТЕЛ. →

Конспект Закон всемирного тяготения

1.1°. Закон всемирного тяготения

Между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения (силы тяготения,гравитационные силы), прямо пропорциональные массам этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними.

Модуль силы тяготения определяется выражением

(1.01)

G = 6.67*10^-11

Гравитационные силы направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие точки, и поэтому называются центральными силами.

На рисунке F_2/1 и F_1/2 силы тяготения. По III закону Ньютона

(1.02)

1.2°. Условия применимости

Закон всемирного тяготения в указанной форме справедлив не только для двух материальных точек, но и для

а) тел произвольной формы, размеры которых во много раз меньше расстояний между центрами масс тел;

б) тел со сферически-симметричным распределением масс.

В этих случаях L – расстояние между центрами взаимодействующих тел.

1.3°. Сила тяжести. Ускорение свободного падения.

На любое тело на поверхности Земли действует сила тяжести, направленная вертикально вниз , значение которой определяется как:

(3.01)

где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли,

m – масса тела

По своей природе сила тяжести это не что иное, как сила тяготения,

Тогда легко получить формулу для ускорения свободного падения на поверхности Земли (или другой планеты, в зависимости от того какие М и R мы возьмем):

(3.02)

Если тело находится на высоте h над поверхностью планеты, то для силы тяжести получаем:

(3.03)

где h – высота над поверхностью планеты

1.4°. Спутник планеты.

Тело движущееся по стационарной орбите вокруг планеты называется спутником планеты.
Условием стационарного движения тела вокруг планеты является выражение (4.03)

(4.01)

т.е. нормальное (центростремительное) ускорение тела должно быть равно ускорению свободного падения на данной высоте

Докажем это с помощью мысленного мысленного эксперимента (под катом).

Предположим у нас есть высокая башня, с которой можно кидать камни горизонтально с какой угодно скоростью, технологии нам так же позволяют уменьшить сопротивление воздуха до нуля. Траектории камня при последовательном увеличении скорости показаны на рисунке.

Мы видим, что тело падает все дальше от точки броска, траектория все больше становится похожа на окружность. Логично предположить, что при некоторой скорости параболическая траектория превратится в окружность и тело вообще никогда не упадет на поверхность. С точки зрения ускорения это означает, что тангенциальное ускорение станет равным нулю (тело вращается вокруг планеты вечно, его скорость по модулю не меняется) т.е.

(4.02)

Заметим, что тело движется под действием силы тяжести, его ускорение (полное) не меняется и равно g. При этом мы помним, что полное ускорение это векторная сумма нормального и тангенциального ускорений (§1.4 п.5°)

(4.03)

Следовательно, когда траектория тела становится окружностью (a_τ = 0), полное ускорение становится равным центростремительному и, т.е. выполняется соотношение (4.01)

1.5°. Скорость спутника планеты.

Итак примем, что условие (4.01) выполняется т.е. a→_n= g_h
, тогда

(5.01)

Откуда после сокращения R_з + h , получим:

(5.02)

учитывая соотношение (3.02) предыдущая формула (5.02) принимает вид

(5.03)

Последнее уравнение удобно использовать когда не известна масса планеты.

1.6°. Первая космическая скорость.

Минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу вблизи поверхности планеты (h = 0) что бы оно стало спутником планеты – называется первой космической скоростью.

Из (5.02) и (5.03) с учетом того что для первой космической скорости h = 0 получим

(6.01)

(6.02)

соответственно

Первая космическая скорость для Земли равна 7,9 км/с.

Существуют так же вторая и третья космические скорости.

Вторая космическая скорость – наименьшая скорость, которую необходимо придать телу, для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с.

Третья космическая скорость — минимально необходимая скорость тела, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы в межзвёздное пространство. Для Земли третья космическая скорость равна 16,7 км/с.

§2. Примеры решений задач

2.1°. Процент марсианского ускорения от земного.

Сколько процентов составляет ускорение свободного падения на поверхности Марса от ускорения свободного падения на Земле, если радиус Марса составляет 0,5 радиуса Земли, а масса Марса — 0,1 массы Земли?

Решение

1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.

Сколько ПРОЦЕНТОВ (значит надо искать отношение параметров) составляет ускорение свободного падения НА ПОВЕРХНОСТИ Марса от ускорения свободного падения на Земле, если РАДИУС МАРСА СОСТАВЛЯЕТ 0,5 РАДИУСА ЗЕМЛИ (т.е. радиус Земли в 2 раза больше – так легче воспринимать информацию о том, как они соотносятся) , а МАССА МАРСА — 0,1 МАССЫ ЗЕМЛИ (масса земли в 10 раз больше)?

Таким образом, рассматриваются две идентичных ситуации, отличающиеся только количественно, достаточно рассмотреть одну ситуацию, для второй все будет аналогично.

Требуется найти "сколько процентов составляет.." , следовательно, найдем во сколько раз ускорение на Земле больше, чем на Марсе и выразим его через проценты (тут главное правильно определить, что взять за 100 %, но об этом позже).

2. Начнем с вопроса задачи – ускорения свободного падения на поверхности планеты. Для него у нас имеется следующая формула

Это то что нужно, так как "цепляет" и радиус, и массу, которые "работают" в условии задачи (нам известны отношения радиусов, отношения масс)

Поделим формулы друг на друга что бы использовать эти отношения

Все выражаем через минимальное число параметров, т.е. массу Земли через массу Марса, радиус Земли через радиус Марса

возводим в квадрат и сокращаем

Итак, мы знаем, что ускорение свободного падения на Земле в 2,5 раза больше чем на Марсе.

В задаче просят найти сколько процентов составляет ускорение свободного падения на поверхности Марса от ускорения свободного падения на Земле

Если вычисляется процент X от Y то за 100% берется Y, за 100% берем то, с чем сравнивается наш параметр – ускорение на Земле 100% , на Марсе в 2,5 раза меньше, т.е 40%

Ответ 40%

2.2°. Ускорение свободного падения, масса и плотность планеты.

Масса некоторой планеты в 16 раз больше, чем масса Земли, а средняя плотность вещества планеты в 2 раза больше средней плотности Земли. Во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности планеты больше, чем на поверхности Земли?

Решение

Задача очень похожа на предыдущую, поэтому воспользуемся некоторыми наработками предыдущей задачи

(*)

В этом уравнении нам известно отношение масс, если мы найдем отношение радиусов планет – мы решим задачу.

Как "зацепить" радиусы? Где у нас есть радиус планеты (кроме формулы ускорения свободного падения, которую мы уже использовали)? Например в формуле скорости спутника

но это совсем "холодно", так как у нас нет ни каких спутников в задаче!

Где еще есть радиус планеты? Планета это сфера, объем которой может быть найден по формуле

А вот это уже "горячо" т.к. здесь мы цепляем объем, который может быть выражен через плотность

т.е.

Используем еще раз отношение масс планеты и Земли

откуда

Подставим отношение радиусов и отношение масс в исходное уравнение (*)

Ответ: ускорение свободного падения на планете в 4 больше , чем на Земле.

2.3°. Два спутника

Первый спутник вращается по круговой орбите на высоте, равной радиусу планеты, а второй – на высоте, в 7 раз большей. Во сколько раз скорость первого спутника больше скорости второго?

Решение

1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.

Первый спутник вращается по круговой ОРБИТЕ (что такое орбита?) на ВЫСОТЕ (т.е это расстояние от ПОВЕРХНОСТИ до спутника), равной радиусу планеты ( h₁ = Rп_л), а второй – на высоте, в 7 раз большей (h₂ = 7R_пл). Во сколько раз скорость первого спутника больше скорости второго?

Отметим, что в задаче рассматриваются две похожие ситуации, отличающиеся лишь количественно.

2. Делаем рисунок что бы закрепить и систематизировать информацию.

3. Подбираем уравнения так что бы максимально зацепить информацию из условия и так что бы неизвестных было как можно меньше.

У нас речь о СКОРОСТИ СПУТНИКА, для этого параметра есть две формулы (рассматриваем первый случая, для второго все будет аналогично )

(*) и (**)

Какую выбрать? Выберем второй вариант, хотя на самом деле не имеет значения – знаменатель у них одинаков (а про него у нас как раз вся информация) а числитель в дальнейшем будет сокращаться, ведь мы ищем ОТНОШЕНИЕ скоростей.

С учетом информации из условия скорость первого и второго спутника определяется соответственно как

Поделив их друг на друга, получим

2.4°. Ускорение свободного падения и спутник планеты.

Определить модуль ускорения свободного падения на поверхности планеты радиусом 5000 км, если скорость спутника, движущегося по круговой орбите на высоте 5000 км относительно поверхности планеты, равна 5 км/с.

Решение

1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.

Определить модуль ускорения свободного падения НА ПОВЕРХНОСТИ планеты радиусом 5000 км, если скорость спутника, движущегося по круговой орбите НА ВЫСОТЕ 5000 км относительно поверхности планеты, равна 5 км/с.

Обратим внимание, что в задаче фактически рассматриваются ДВЕ ситуации – что-то мы знаем ПРО ПОВЕРХНОСТЬ , что-то про ВЫСОТУ!

2. Сделаем рисунок

3. Подберем наиболее оптимальные уравнения.

Можно "расписать" ускорение свободного падения на поверхности

формула хорошая, так как “цепляет” нужный параметр g₀ (его мы ищем), использует известный параметр R_пл, но включает так же и неизвестный параметр М_пл, с которым пока не понятно что делать.

Но ведь можно еще расписать скорость спутника,

с этой формулой то же все хорошо, не известен лишь тот же параметр, что и для первой – М_пл.

Сравнив эти формулы можем заметить, что у них полностью совпадают числители (G·М_пл) ! Ну так выразим G·М_пл из первой формулы

и подставим во вторую

Ого мы получили формулу, которая уже есть в конспекте!

Выразим из нее g0

Теперь немного посчитаем. Обратите внимание, что в условии все расстояния даны в км, может можно подставить прямо так? Действительно можно, только нужно учесть, что и ускорение у нас тогда получится в в км/с² и его нужно будет перевести в стандартные единицы измерения.

или в стандартных единицах измерения

2.5°. Период вращения спутника и плотность планеты

Найти зависимость периода обращения искусственного спутника, вращающегося по круговой орбите у поверхности планеты, от средней плотности планеты.

Решение

1. Читаем ВНИМАТЕЛЬНО условие задачи.

Найти зависимость ПЕРИОДА (это то что ищем) обращения искусственного спутника, вращающегося по круговой орбите у ПОВЕРХНОСТИ планеты (т.е. спутник движется с первой космической скоростью), от СРЕДНЕЙ (в данном случае имеют в виду, что плотность планеты во всех точках одинакова) плотности планеты.

Отметим еще раз мы ищем ПЕРИОД и в зависимости от ПЛОТНОСТИ (значит плотность известный параметр).

2. От чего оттолкнутся? Если не очевидно с чего начинать, следует начать с вопроса.

Как определяется период, при равномерном движении по окружности (наш случай) ? По формуле

Отличная формула! Так как “цепляет” радиус (у нас спутник движется вблизи поверхности R = R_пл) и цепляет скорость, для которой у нас есть формула (формула первой космической скорости), точнее их даже две.

По поводу радиуса, вообще-то он не известен, но про него известно хотя бы кое-что R = R_пл , поэтому его использование уместно, ну, и будем надеяться, что он сократится.