Т_2.7.Закон всемирного тяготения

1°. Закон всемирного тяготения

Между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения (силы тяготения,гравитационные силы), прямо пропорциональные массам этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними.

Модуль силы тяготения определяется выражением

(1.01)

G = 6.67*10-11

Гравитационные силы направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие точки, и поэтому называются центральными силами.

На рисунке F2/1 и F1/2 силы тяготения. По III закону Ньютона

(1.02)

2°. Условия применимости

Закон всемирного тяготения в указанной форме справедлив не только для двух материальных точек, но и для

а) тел произвольной формы, размеры которых во много раз меньше расстояний между центрами масс тел;

б) тел со сферически-симметричным распределением масс.

В этих случаях L – расстояние между центрами взаимодействующих тел.

3°. Сила тяжести. Ускорение свободного падения.

На любое тело на поверхности Земли действует сила тяжести, направленная вертикально вниз , значение которой определяется как:

(3.01)

где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли,

m – масса тела

По своей природе сила тяжести это не что иное, как сила тяготения,

Тогда легко получить формулу для ускорения свободного падения на поверхности Земли (или другой планеты, в зависимости от того какие М и R мы возьмем):

(3.02)

Если тело находится на высоте h над поверхностью планеты, то для силы тяжести получаем:

(3.03)

где h – высота над поверхностью планеты

4°.01 Спутник планеты.
Тело движущееся по стационарной орбите вокруг планеты называется спутником планеты.
Условием стационарного движения тела вокруг планеты является выражение (4.03)

(4.01)

т.е. нормальное (центростремительное) ускорение тела должно быть равно ускорению свободного падения на данной высоте

Докажем это с помощью мысленного мысленного эксперимента (под катом).
Предположим у нас есть высокая башня, с которой можно кидать камни горизонтально с какой угодно скоростью, технологии нам так же позволяют уменьшить сопротивление воздуха до нуля. Траектории камня при последовательном увеличении скорости показаны на рисунке.

Мы видим, что тело падает все дальше от точки броска, траектория все больше становится похожа на окружность. Логично предположить, что при некоторой скорости параболическая траектория превратится в окружность и тело вообще никогда не упадет на поверхность. С точки зрения ускорения это означает, что тангенциальное ускорение станет равным нулю (тело вращается вокруг планеты вечно, его скорость по модулю не меняется) т.е.

(4.02)

Заметим, что тело движется под действием силы тяжести, его ускорение (полное) не меняется и равно g. При этом мы помним, что полное ускорение это векторная сумма нормального и тангенциального ускорений (§1.4 п.5°)

(4.03)

Следовательно, когда траектория тела становится окружностью (aτ = 0), полное ускорение становится равным центростремительному и, т.е. выполняется соотношение (4.01)

5°. Скорость спутника планеты.

Итак примем, что условие (4.01) выполняется т.е. an = gh
, тогда

(5.01)

Откуда после сокращения Rз + h , получим:

(5.02)

учитывая соотношение (3.02) предыдущая формула (5.02) принимает вид

(5.03)

Последнее уравнение удобно использовать когда не известна масса планеты.

6°. Первая космическая скорость.
Минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу вблизи поверхности планеты (h = 0) что бы оно стало спутником планеты – называется первой космической скоростью.

Из (5.02) и (5.03) с учетом того что для первой космической скорости h = 0 получим

(6.01)

и

(6.02)

соответственно

Первая космическая скорость для Земли равна 7,9 км/с.

Существуют так же вторая и третья космические скорости.
Вторая космическая скорость – наименьшая скорость, которую необходимо придать телу, для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с.

Третья космическая скорость — минимально необходимая скорость тела, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы в межзвёздное пространство. Для Земли третья космическая скорость равна 16,7 км/с.

для иногродних возможно дистанционное обучение