Брусок в углублении-решение – не тривиальный способ решения
Напомним условие задачи
На гладкой горизонтальной поверхности около стенки стоит симметричный брусок массы M с углублением полусферической формы радиуса R . Из точки А без трения и начальной скорости соскальзывает маленькая шайба массы m . Максимальная скорость бруска при его последующем движении равна…
Второй способ решения (сложный по смыслу, но простой технически.)
Обратим внимание на следующее.
Используя 1-й способ, мы применили ЗСЭ дважды. Первый раз, когда шайба скользила вниз из точки А, и второй раз при движении шайбы вверх и вниз через точку С. При этом, рассматривая, движения на участках AB и ВСВ мы вынуждены были поменять набор тел входящих в систему. В первом (движение АВ) случае статус внутренних тел системы имели шайба и земля, брусок мы считали внешним телом, во втором случае (движение ВСВ) статус бруска изменился, он стал внутренним телом, а статус внешнего тела перешел к горизонтальной поверхности стола.
Существует известная пословица: «коней на переправе не меняют», как видим, на решения задач это не распространяется. В одной и той же задаче, одно и тоже тело мы можем рассматривать и как внешнее, и как внутренне и использовать системы с разными наборами тел.
Решая задачу 1-м способом мы почти “проскочили” мимо одного важного момента, а именного того факта, что N не перпендикулярна скорости бруска относительно Земли. А если мы возьмем другую систему отсчета, в которой N перпендикулярна скорости и вообще есть ли такая скорость и такая СО? Конечно есть это скорость шайбы относительно бруска, т.е. если мы “перейдем” в СО связанную с бруском, то мы в этой СО мы без проблем можем применить ЗСЭ.
Что это нам дает?
А дает нам это то, что ЗСЭ мы можем использовать теперь для любых положений бруска, например точка B при движении вверх и эта же точка при обратном движении, но потенциальная энергия в этих точках одна и та же (ведь это одна и та же точка в разные моменты времени), откуда в следует, что кинетическая энергия бруска в точке В при движении вверх и при движении вниз одна и та же !!! Обязательно отметим, что имеется ввиду кинетическая энергия взятая относительно СО связанной с бруском! И следовательно, относительная скорость в точке В при движении вверх и при движении вниз одна и та же!
2.1 |
где скорость бруска при движении вверх и скорость бруска при движении вниз.
Т.е. относительная скорость в точке В после спуска из точки С , такая же как и до подъема в нее и она нам известна!
2.2 |
Из закона сложения скоростей
, | 2.3 |
где скорость бруска относительно земли, скорость бруска относительно земли.
В проекции на ось ОХ выражение 2.3 приобретает следующий вид
2.4 |
Теперь записываем ЗСИ для двух состояний бруска,
2.5 |
Подставим в это уравнение из (2.4)
2.6 |
Раскроем скобки , учтем (2.1)
2.7 |
Откуда скорость бруска:
, | 2.8 |
и окончательно, учитывая (2.2)
2.9 |
Решать страшненькую систему (1.5) не пришлось.
Выводы
- В одной и той же задаче мы можем использовать системы с разными наборами тел. Одно и то же тело (но в разные моменты времени) может быть как внешним, так и внутренним телом. Это позволяет «уйти» в некоторых случаях от «мешающих» внешних сил.
- Введение в решение задачи вспомогательной, подвижной СО и, соответственно, относительной скорости, в некоторых случаях существенно упрощает решение задачи. Т.е, нужно помнить, что рассмотрение движения тела с точки зрения земли далеко не всегда является единственно возможным.