Брусок в углублении-решение – решение “в лоб”

Условие задачи
На гладкой горизонтальной поверхности около стенки стоит симметричный брусок массы M с углублением полусферической формы радиуса R . Из точки А без трения и начальной скорости соскальзывает маленькая шайба массы m . Максимальная скорость бруска при его последующем движении равна…

 

Качественный анализ.

На качественном уровне попробуем ответить на следующие вопросы:

  • Как будут двигаться брусок и шайба, каковы характерные особенности этих движений?
  • Где будет находиться шайба, когда брусок приобретет максимальную скорость, от чего это зависит (чем определяется)?
  • Какие разделы механики мы сможем здесь использовать для описания системы и ответа на вопрос задачи?

Исходя, из каких соображений мы можем ответить на 1-й вопрос?

Особенности любого движения определяют силы, действующие в системе, не исключение и этот случай.
Покажем силы, действующие на наши тела при движении бруска вниз на участке АВ (рис1).
Здесь N – реакция опоры, , mg – сила тяжести, P – вес шайбы (действует на брусок).
Видим, что если бы не было стенки, то под действием P брусок бы начал двигаться влево, но стенка препятствует этому движению и на участке AB брусок не движется.

Ситуация кардинально меняется, когда шайба проходит нижнюю точку траектории и начинает двигаться вверх (рис. 2).
Теперь ничто не мешает двигаться бруску под действием силы P . Как именно при этом будет двигаться брусок?
Очевидно, что скорость его будет увеличиваться, ведь на него все время действует P , толкающая его вправо. Но увеличиваться она будет неравномерно , хотя бы потому что направление Р изменяется с течением времени. Итак, пока шайба движется снизу вверх, скорость бруска все время увеличивается.

Значит ли это, что максимальной скорость бруска будет, в тот момент, когда шайба достигнет точки С ? Многие делают здесь ошибку и отвечают «да», но мы не будем спешить. Что бы ответить на этот вопрос посмотрим, что будет происходить, когда шайба начнет двигаться вниз (рис. 3).
А расстановка то сил не поменялась!. Сила P по-прежнему действует вправо, следовательно, и на этом участке ( СВ ) брусок ускоряется. Он начнет замедляться только после того, как шайба достигнет нижней точки траектории и начнет двигаться вверх к точке A , так как только теперь Р меняет свое направление и начинает тормозить брусок .

Итак, теперь мы представляем как движутся тела. Знаем, что максимальной скорость бруска будет в момент прохождения точки В во 2-й раз. Мы знаем, что движение бруска ускоренное, но не равно ускоренное.

Осталось ответить на последний вопрос, какие уравнения использовать, что бы решить задачу. Ответ простой: нужно использовать закон сохранения энергии и, возможно, закон сохранения импульса, так как только они позволяют нам работать с системами, где силы изменяются с течением времени .

Количественный анализ

Найдем скорость шайбы в точке В , когда она оказывается там в 1-й раз (соскальзывает из точки А ). Что бы ее найти, применим закон сохранения энергии. Системой будем считать шайбу и землю, брусок – внешним телом. Брусок действует на шайбу силой N и это внешняя сила, но работы эта сила не совершает, так как перпендикулярна скорости шайбы, значит, полная энергия системы «шайба-земля» не меняется с течением времени и, следовательно, можем записать

1.1

где – скорость шайбы в точке B после соскальзывания из A

откуда

1.2

Вот теперь начинается самое интересное, дальше эта задача может решаться двумя способами. Cпособом «в лоб» – до него сравнительно легко догадаться, но он, трудоемок технически. И второй способ: «ход конем» – до него трудно додуматься, но зато он прост в техническом плане.

Первый способ (трудоемкий)
Итак мы определили скорость шайбы в токе В , когда она оказалась там в первый раз, а нам надо скорость бруска когда она окажется там во второй раз (после спуска из точки С ). Понятно, что здесь нужно использовать закон сохранения энергии, и здесь мы сталкиваемся с двумя ошибками, которые часто совершают ученики.

Первая ошибка – ученики пытаются применить ЗСЭ (закон сохранения энергии) сначала для участка ВС при движении вверх, а затем для участка СВ, при движении вниз, т.е. как бы включают точку В решение задачи. Этого делать не надо! Закон сохранения энергии тем и прекрасен, что для него неважно, что происходит внутри процесса, имеют значение только начальное и конечное состояние системы.

А начальным и конечным состоянием системы является точка В , только в разные моменты времени! Для них и нужно записывать ЗСЭ.

Вторая ошибка – многие ученики забывают, что шайба «толкает» брусок и, следовательно, «отдает» ему часть своей энергии, так что во втором состоянии системы, ее энергия – это сумма кинетических энергий бруска и шайбы (потенциальную энергию шайбы в точке В принимаем равной нулю).

Отметим здесь один очень важный момент – при рассмотрении движения из точки В в С и обратно в B мы должны изменить набор набор тел входящих в систему. При движение шайбы из А в В, брусок мы считали внешним телом  и хотя это “внешнее тело” создавало внешнюю силу N , это не мешало применению закона сохранения энергии, т.к. эта сила (N) не совершала работы (AN=0), но если мы оставим брусок в “статусе” внешнего тела при движении ВСВ , то желая применить ЗСЭ, мы должны будем учесть работу совершаемую N. Как так, можете спросить вы – на участке АВ реакция опоры работы не совершает, а на участке   ВСВ совершает? Да, именно так, и связано это с тем, что шайба в этом случае совершает одновременно два движения – движение по окружности и поступательное движение вместе с бруском, траекторией движения шайбы относительно земли, окружность больше не является, N больше не перпендикулярна скорости и ее работа не равна нулю.  (Мимоходом зададим себе вопрос – о Какой скорости речь, ведь скорость величина относительная – ответ, конечно имеется в виду скорость относительно земли)

Итак если статус внешнего тела для бруска при движении ВСВ создает проблемы, как нам быть?

Ответ прост – включить брусок в систему, т.е. присвоить ему статус внутреннего тела системы, в этом случае N превращается во внутреннюю силу и все вопросы снимаются.

ЗСЭ, в этом случае выглядит следующим образом

1.3

где – скорость шайбы в точке B после соскальзывания из A,  – скорость шайбы в точке В , когда она оказалась там второй раз,  – скорость бруска в этот же момент.

Имеем одно уравнение и две неизвестных и , нужно еще одно уравнение, откуда его взять? Конечно из закона сохранения импульса.

При использовании закона сохранения импульса, мы снова должны пересмотреть набор тел входящих в систему.  Системой в этом случае мы будем считать брусок и шайбу (теперь земля – внешнее тело).
Вообще-то система эта не замкнута, так как действует внешнее тело – земля (посредством внешней силы mg), но в горизонтальном направлении никакие внешние силы не действуют, следовательно, проекция полного импульса системы на горизонтальное  направление не меняется, а нам ведь только это направление и нужно.
Закон сохранения импульса (ЗСИ) так же «безразличен» к тому что происходит внутри процесса, поэтому мы не станем включать в рассмотрение точку С , а запишем ЗСИ для начального и конечного состояния системы, которым является точка В, в разные моменты времени.

1.4

Минус перед стоит, так как шайба движется влево (а ось по умолчанию у нас – вправо).

Теперь нам придется иметь дело с не очень приятной системой уравнений:

1.5

Самое главное на этом этапе не испугаться и делать далее все очень аккуратно.

Выразим из 2-го уравнения и подставим в первое (двойки сокращаем)

1.6

1.7

возводим в квадрат и сокращаем одно m .

1.8

домножим левую и правую половину на m

1.9

сокращаем

1.10

делим уравнение на

1.11

откуда получаем

1.12

и окончательно, вспомнив, что

1.13

Ура ! Задача решена!!!

А есть ведь еще и второй, весьма  не тривиальный способ решения этой задачи. Если интересно, вам сюда.

 

Читайте также: